Главная > Обработка сигналов, моделирование > Проверка статистических гипотез
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОСНОВЫ

1. Вероятность и мера

Математическую основу теории статистических решений составляет теория вероятностей, которая, в свою очередь, опирается на теорию меры и интегрирования. Настоящий и следующий разделы имеют целью определить некоторые важные понятия этих теорий, установить обозначения и сформулировать без доказательства некоторые из основных результатов. В оставшейся части главы более детально разбирается ряд специальных вопросов.

Теория вероятностей имеет дело с ситуациями, допускающими различные исходы. В абстрактной модели совокупность возможных исходов описывается множеством точек некоторого пространства . Поскольку изучаемые события составляются из этих исходов, они представляются подмножествами . Объединение двух множеств будет обозначаться их пересечение — дополнение к А будет обозначаться Пустое множество обозначим . Вероятность события А — действительное число, лежащее между нулем и единицей; в частности,

Вероятность обладает свойством счетной аддитивности

К сожалению, оказывается, что функции множеств, с которыми мы будем встречаться, не могут быть, как правило, разумным образом определены для всех подмножеств , если сохранить требование (2). Невозможно, например, дать разумное определение «площади» для всех подмножеств единичного квадрата на плоскости.

Множества, для которых вероятностная функция определена, будут называться «измеримыми». Область определения должна включать наряду с каждым множеством А его дополнение и

вместе с каждым счетным классом событий — их объединение. По (1) она содержит также , Класс подмножеств, содержащий и замкнутый относительно операций перехода к дополнению и счетного объединения, называется -полем. Такой класс автоматически замкнут относительно счетных пересечений.

Отправной точкой любых вероятностных исследований являются, стало быть, пространство возможных исходов и -поле подмножеств , представляющее события, для которых будет определена вероятность. Такая пара называется измеримым пространством, а элементы измеримыми множествами. Мерой называется определенная на неотрицательная, счетно аддитивная (не обязательно конечная) функция множеств для которой Если ее значение для равно 1, то она называется вероятностной мерой. Более общим образом, если то по определению, конечна; если найдется последовательность множеств из (их можно взять попарно непересекающимися), для которой то по определению, -конечна. В нижеследующих примерах указаны важные специальные случаи.

Пример 1. Пусть — -мерное евклидово пространство и наименьшее -поле, содержащее все «прямоугольники»

Элементы называются борелевскими множествами в На можно определить единственную меру значение которой для любого прямоугольника совпадает с его объемом

Мера может быть пополнена присоединением к всех подмножеств меры нуль. Область определения расширяется, таким образом, до -поля элементы которого называются измеримыми по Лебегу множествами. Термин мера Лебега будет использован для как в случае, когда она рассматривается на борелевских множествах, так и в случае, когда она рассматривается на множествах, измеримых по Лебегу.

В этом примере объем может быть заменен любой неотрицательной функцией множеств которая определена и счетно аддитивна на классе всех прямоугольников Как и прежде, существует единственная мера на которая совпадает с для всех Эта мера также может быть пополнена; однако возникающее -поле зависит от и не обязано совпадать с отполем введенным выше.

Пример 2. Предположим, что счетно, и пусть — класс всех подмножеств Для любого А положим равным числу его элементов, если оно конечно; в противном случае положим меру равной Эту меру иногда называют считающей мерой.

В приложениях вероятности на отражают обстановку случайного эксперимента или наблюдегй, возможные исходы которых описываются точками Обозначим результаты этих наблюдений, которые могут быть, например, действительными числами или векторами, буквой Пусть вероятность того, что X попадает во множество А, равна . В таком контексте вероятность будет иногда обозначаться а вероятностная мера знаком Мы будем говорить об как о случайной величине в пространстве и о вероятностной мере или как о распределении вероятностей Математически, таким образом, случайная величина есть не что иное, как «носитель» своего распределения. Пусть какое-либо утверждение относительно точек и А — множество тех точек, для которых истинно. Тогда вероятность мы будем иногда записывать в виде

Пусть X — действительная случайная величина с распределением вероятностей определенном на борелевских множествах числовой прямой. Функция точки а, определяемая для любого а равенством называется функцией распределения Функция неубывающая, непрерывная справа, и Если любая функция с этими свойствами, то равенство определяет меру на интервалах. Как и в примере 1, эта мера единственным образом продолжается до меры на борелевских множествах. Таким образом, между распределениями вероятностей и функциями распределения устанавливается взаимно однозначное соответствие. Это остается справедливым и для распределений в -мерном евклидовом пространстве, где функция распределения определяется соотношением По распределению X можно найти распределение любой функции от Пусть — функция от результатов наблюдений, принимающая значения в некотором пространстве Эта функция порождает в -поле состоящее из множеств В, полные прообразы которых

входят в Значения, принимаемые опять возникают как исходы случайного эксперимента, так что является

случайной величиной в пространстве Так как тогда и только тогда, когда то распределение вероятностей в задается равенством

Часто случается, что в заранее задано -поле его подмножеств, такое, что вероятность события должна быть определена для тех и только тех В, которые Отсюда с необходимостью вытекает, что для всех Отображение (функция, преобразование) пространства в называется в этом случае измеримым. Другим следствием является удобное порой использование вероятностных утверждений только применительно ко множествам, входящим в даже если существует для которых и вероятность которых, следовательно, могла бы быть определена.

В приложениях «сырьем» для исследования служит совокупность результатов наблюдений, это единственно доступные данные. Результаты наблюдений представляются случайной величиной так что все другие случайные величины, которые могут встретиться, являются функциями от Пространство то, в котором задано X, называется выборочным пространством, а каждое измеримое отображение пространства статистикой. Распределение определяется для всех помощью (3). При таком подходе статистика описывается заданием как функции так и -поля Мы условимся считать, однако, что каждый раз функция принимает значения в евклидовом пространстве, в качестве -поля измеримых множеств будет выбираться класс борелевских множеств (если только явно не сказано противное). При таком соглашении указывать в том числе и в обозначениях, нет никакой необходимости.

Различие между статистикой и случайной величиной, как они введены выше, оказывается незначительным. Термин «статистика» используется лишь с тем, чтобы подчеркнуть, что эта величина является функцией «основных» результатов наблюдений. Все статистики в какой-либо данной задаче представляют собой функции на выборочном пространстве С другой стороны, каждая статистика есть случайная величина, так как она имеет распределение в и она будет именоваться

чайной величиной в обстоятельствах, когда ее происхождение несущественно. Какой термин употреблять — зависит, следовательно, от точки зрения и до известной степени произвольно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление