Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА X. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

По-настоящему хорошей и адекватной истории развития аналитических принципов механики еще не написано. Книга Дюринга, претендующая на изложение этого вопроса, содержит мало истории по существу. Классическая книга Маха о развитии механики в первую очередь посвящена ее физическим принципам и в меньшей мере ее аналитическому аспекту. Мах столь мало симпатизировал всему, что хоть сколько-нибудь напоминало априорное рационалистическое мышление, что он так и не смог подняться до правильной оценки аналитических методов и их роли в физических науках. Тот факт, что развитие вариационных принципов — этой великолепной главы эволюции человеческого мышления — никогда не вызывало энтузиазма научных кругов и считалось лишь эффективным методом описания механических явлений, является результатом преобладающего влияния позитивистского типа философии в научном мышлении в течение последних пятидесяти лет. Этим объясняется отсутствие систематического исторического описания этой ветви математической физики, в котором развитие ее прослеживалось бы вплоть до наших дней.

Короткий очерк A. Майера освещает лишь эпизод Монертюи — Эйлер-Лагранж и совершенно опускает развитие теории Гамильтона — Якоби. При описании этой стадии развития теории, являющейся в основном продуктом девятнадцатого столетия, автор использовал отдельные примечания из математической энциклопедии. Полезными были также прекрасные статьи физической энциклопедии под редакцией Гейгера и Шила. Настоящий исторический обзор представляет собой лишь набросок главных направлений работы мысли. Поэтому нам показалось целесообразным сгруппировать материал вокруг имен ряда ведущих ученых, внесших наиболее существенный вклад в эти исследования.

Аристотель (384—322 до н. э.). В «Физике» Аристотеля содержалась первая завуалированная формулировка принципа виртуальных перемещений. Он вывел закон рычага из принципа: «силы уравновешивают друг друга, если они обратно пропорциональны скоростям». Поскольку рассматривается равновесие рычага, а аргументация основана на скоростях, здесь уже явно присутствует идея «виртуальных перемещений», обусловленных какой-нибудь малой возмущающей силой. Термин «виртуальные скорости» вместо «виртуальные перемещения», широко употреблявшийся в XIX столетии, восходит к формулировке принципа, данной Аристотелем. Тот же самый принцип, но в новой формулировке: «то, что проигрывается в силе, выигрывается в скорости» — был использован Стевином (1548—1620) при выводе законов равновесия блоков.

Галилей (1564—1642). Всемирно известен огромный вклад в механику, внесенный Галилеем. Однако, отдавая щедрую дань заслугам Галилея — эмпирика, отца экспериментальных методов, — часто забывают о его великих заслугах как физика-теоретика. Его существенный вклад в теоретическую механику заключается в исправлении формулировки

принципа Аристотеля. Галилей понял то важное обстоятельство, что в формулировке принципа виртуальных скоростей должны подразумеваться не скорости вообще, а лишь скорости в направлении действия силы. Его метод приводит к понятию «работы» как «произведения силы на перемещение в направлении действия силы». Применив принцип виртуальных перемещений к равновесию тела на наклонной плоскости, Галилей показал, что этот принцип приводит к тому же самому результату, который был получен Стевином из энергетических соображении. Галилей пока зал также применимость этого принципа в гидростатике, где он вывел с его помощью законы гидростатического давления, установленные ранее Архимедом на основе понятия о центре масс.

Иоганн Бернулли (1667—1748). Во всех предыдущих формулировках принципа всегда фигурировали две силы: «движущая сила» и «нагрузка». При этом закон формулировался с помощью некоторой пропорции. Иоганн Бернулли первый увидел в принципе виртуальных перемещений общий принцип статики, с помощью которого могут быть решены все задачи о равновесии. Он отказывается от использования пропорций и вводит произведение силы и виртуальной скорости в направлении действия силы, взятое с положительным или отрицательным знаком, в зависимости от того, является ли угол между силой и скоростью острым или тупым. В письме, написанном Вариньону в 1717 г. Бернулли сформулировал общий принцип, согласно которому при равновесии сил сумма всех таких произведений обращается в нуль на всех возможных бесконечно малых перемещениях. Теперь уже принцип виртуальных перемещений мог применяться для любых сил и любых механических условий.

Довольно любопытна также и другая работа Бернулли. Сравнивая движение частицы в поле заданной силы с распространением света в оптически неоднородной среде, он попытался создать на этой основе механическую теорию коэффициента преломления. Этим Бернулли предвосхитил великую теорию Гамильтона, в которой было показано, что принцип наименьшего действия в механике и принцип минимального времени распространения, носящий имя Ферма, аналогичны в своих выводах, что позволяет

интерпретировать оптические явления при помощи понятий механики и наоборот.

Ньютон (1642—1727). На основе более ранних исследований Леонардо да Винчи и Галилея Ньютоном были сформулированы основные уравнения движения. Были введены такие фундаментальные понятия, как импульс и действующая сила. Ньютонов закон движения решил задачу о движении изолированной частицы. Он мог также рассматриваться как общее решение задачи о движении, если только согласиться разбивать любую совокупность масс на изолированные частицы. Возникла, однако, трудность, связанная с тем, что не всегда были известны действующие силы. Эта трудность была частично преодолена с помощью третьего закона Ньютона, провозгласившего принцип равенства действия и противодействия. Это исключило неизвестные силы в случае движения твердого тела, однако движение механических систем с более сложными кинематическими условиями не всегда поддавалось ньютонову анализу. Последователи Ньютона считали законы Ньютона абсолютными и универсальными законами природы, интерпретируя их с таким догматизмом, к которому их создатель никогда бы не присоединился. Это догматическое почитание ньютоновой механики частиц помешало физикам отнестись без предубеждения к аналитическим принципам, появившимся в течение XVIII века благодаря работам ведущих французских математиков этого периода. Даже великий вклад Гамильтона в механику не был оценен современниками из-за преобладающего влияния ньютоновой формы механики.

Лейбниц (1646—1716). В то время как Ньютон предлагал измерять движение скоростью изменения импульса, Лейбниц отстаивал другую величину — «живую силу» («vis viva»), которая с точностью до множителя совпадает

с нашим понятием кинетической энергии. Лейбниц заменил уравнение Ньютона уравнением, утверждавшим, что «изменение кинетической энергии равно работе, произведенной силой». Идеи Лейбница близки к развившемуся позднее аналитическому направлению. И понятие кинетической энергии, и понятие работы, совершаемой действующей силой, легко можно было обобщить, переходя от одной частицы к произвольным

системам частиц, без необходимости выделения отдельных частиц. Работу сил можно было заменить другой, более фундаментальной величиной: «потенциальной энергией», взятой с обратным знаком. Этот термин был введен Ренкнном в середине XIX века. Как кинетическая, так и потенциальная энергии были величинами, характеризующими систему в целом. В этом состояло одно из их существенных преимуществ при построении динамики систем взаимосвязанных частиц. Второе преимущество заключалось в том, что, несмотря на свою скалярную природу, эти величины смогли отразить в себе все силы, действовавшие на систему, независимо от их численности и степени сложности. Это стало возможным благодаря применению операции варьирования к кинетической и потенциальной энергиям. Таким образом, спор между Ньютоном и Лейбницем о понятии силы был в какой-то мере спором о методе. В то время как ньютоново определение было, пожалуй, более удобно в векторной механике, идеи Лейбница явились краеугольным камнем аналитических методов.

Даламбер (1717—1783). Важный толчок развитию аналитических методов изучения механических систем был дан Даламбером, который свел произвольную задачу о движении к задаче о равновесии путем добавления к заданной системе внешних сил некоторой новой силы, порождаемой движением. Эта новая сила, сила инерции, совместно с остальными силами приводит к равновесию. Поэтому принцип виртуальных перемещений оказывается применимым к любым движущимся системам. Все уравнения движения произвольной механической системы охватываются, таким образом, одним вариационным принципом.

Мопертюи (1698—1759). Мопертюп предложил некую универсальную гипотезу, согласно которой любые события в природе описываются при помощи определенной величины, называемой «действием», которое принимает минимальное значение. Смелый универсализм этого предположения восхитителен, он вполне в духе религиозного мистицизма XVIII века. Однако математические возможности Мопертюи были гораздо ниже уровня его времени. Мопертюи не смог четко определить величину, которая должна быть минимизирована. Он применил свой принцип при выводе закона упругих столкновений. При применении вариационных

методов в этой задаче имеется ряд тонкостей, так что это требует большого искусства. Моиертюи получил правильный результат при совершенно неверном решении. Более удовлетворительна его работа о законе преломления, в которой он показал, как принцип минимального времени распространения Ферма может быть заменен принципом наименьшего действия. Этот результат был еще раньше получен Иоганном Бернулли.

Очень интересен эпизод Мопертюи — Эйлер, описанный Майером в упоминавшейся выше статье. Приоритет Мопертюи оспаривался Кёнигом, утверждавшим, что еще Лейб ниц высказывал те же самые идеи в частном письме. Само это письмо никогда не предъявлялось. В возникшей полемике Эйлер самым решительным образом встал на защиту приоритета Мопертюи. Вместе с тем, он сам открыл этот принцип по крайней мере на год раньше Мопертюи. причем в совершенно корректной форме. В частности, Эйлер знал что закону сохранения энергии должны удовлетворять и действительное, и варьированное движения. Без этого дополнительного условия «действие» Мопертюи — даже после замены применявшейся им суммы на интеграл —теряет всякий смысл. Хотя Эйлер несомненно должен был заметить слабость аргументации Мопертюи, он воздержался от какой бы то ни было критики и воздержался даже от упоминания о своих собственных результатах в этой области, употребив весь свой авторитет на то, чтобы добиться признания Мопертюи автором принципа наименьшего действия. Даже зная необычайную щедрость и благородство характера Эйлера поражаешься его самоотверженной скромности, которая не имеет себе подобной в истории науки, изобилующей проти воположными примерами.

Эйлер (1707—1783). Эйлер внес очень существенный вклад в развитие теоретической механики. При изучении вращения твердого тела он впервые использовал кинематические переменные, введя в качестве вспомогательных переменных три компоненты угловой скорости. Замечательны его пионерские работы в области вариационной механики. Эйлер начал систематическое изучение вариационных задач иногда называемых «изопериметрическими». Эти задачи на максимум-минимум привлекали к себе внимание лучших умов — таких, как Ньютон. Лейбниц. Яков и Иоганн

Бернулли — с момента появления дифференциального исчисления. Эйлер нашел дифференциальное уравнение, дававшее в явном виде решение для широкого класса таких задач. Хотя Эйлер и не сформулировал четко принцип наименьшего действия, что было впервые сделано Лагранжем, его применения этого принципа к механическим задачам, по сути дела, эквивалентны лагранжевой явной формулировке.

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотрению совокупности параметров («обобщенные координаты»). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей «Аналитической механике» (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге: «Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами». Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики.

Метод использования дополнительных условий при помощи неопределенных множителей — еще одно бессмертное

открытие Лагранжа, играющее жизненно важную роль в теоретической механике. Гамильтон, сам один из выдающихся деятелей в области аналитической механики, назвал Лагранжа «Шекспиром математики», имея в виду необычайную красоту, элегантность и глубину его методов.

Гамильтон (1805—1865). Совершенно новый мир, скрывавшийся за достижениями Лагранжа, открылся в исследованиях сэра Уильяма Роуана Гамильтона. Уравнения Лагранжа были довольно сложными дифференциальными уравнениями второго порядка. Гамильтон сумел преобразовать их в систему дифференциальных уравнений первого порядка с удвоенным числом переменных; позиционные координаты и импульсы рассматривались при этом как независимые переменные. Дифференциальные уравнения Гамильтона линейны и разрешены относительно производных. Это простейшая и наиболее удобная форма, к которой могут быть приведены уравнения вариационной задачи. Отсюда название «канонические уравнения», данное им Якоби.

Именно Гамильтон, преобразовав принцип Даламбера, впервые дал точную формулировку принципа наименьшего действия. Форма, в которой применяли этот принцип Эйлер и Лагранж, справедлива лишь для консервативных (склерономных) систем.

Одно из наиболее значительных открытий Гамильтона заключается в осознании и реализации того факта, что задачи механики и геометрической оптики могут рассматриваться с единой точки зрения. Он оперировал с «характеристической» пли «главной» функцией и в оптике, и в механике. Эта функция обладает тем свойством, что при помощи лишь дифференцирования из нее можно определить как траекторию движущейся частицы, так и траекторию светового луча. Более того, и в оптике, и в механике характеристическая функция удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения в частных производных при соответствующих граничных условиях эквивалентно решению уравнений движения.

Якоби (1804—1851). Якоби был одним из немногих математиков, которые сразу поняли необычайную важность и красоту методов Гамильтона. Якоби развил теорию преобразований канонических уравнений, называемую теорией «канонических преобразований». Он интепретировал на основе

этой теории характеристическую функцию, показав, что функция, использованная Гамильтоном, является лишь одним частным случаем функции, производящей нужное каноническое преобразование. Он значительно расширил применимость уравнения в частных производных Гамильтона доказав, что для полного решения задачи о движении достаточно любого полного интеграла этого уравнения, без специальных граничных условий, требовавшихся Гамильтоном.

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями.

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит «принцип наименьшего принуждения», установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвольного момента времени определенную положительную величину, называемую «принуждением», и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку «принуждение» включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию «принуждения» Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в «пространстве конфигураций»

измерений. В этом пространстве принцип Гаусса может быть сформулирован как «принцип прямейшего пути». Такая интерпретация устанавливает тесную связь между принципом Гаусса и принципом Якоби.

Позднейшее развитие аналитической механики. Мы проследили историческое развитие вариационных принципов механики. Таким образом, наша задача в части, касающейся основного предмета настоящей книги, завершена. Однако в сооружение величественного здания этой науки внесли свой вклад и многие другие ученые, разрабатывавшие аналитические методы и добавившие к основной теории ценные детали, не говоря уже о решении частных задач. Кратко отметим наиболее яркие из них.

Пуассон вместе с Лагранжем ввел в теорию возмущений выражения, обозначаемые при помощи скобок, и подошел вплотную к теории канонических преобразований.

Делоне разработал аналитическую теорию многопериодических систем с разделяющимися переменными — метод, который приобрел необычайную важность в теории атома Бора.

Э. Дж. Раус и независимо Г. Гельмгольц обнаружили важность «скоростных» или «циклических переменных» и разработали общие методы их исключения.

Дж. Дж. Томсон размышлял о возможности построения бессиловой механики в предположении, что существуют циклические координаты, т. е. «игнорируемые», потому что они могут быть исключены.

Г. Герц развил эти идеи более последовательно, представляя себе потенциальную энергию как кинетическую энергию скрытых движений. Герц также развил геометрические аспекты механики, изображая движение произвольной механической системы как движение одной частицы в пространстве многих измерений в «пространстве конфигураций».

С. Ли ввел групповые представления в теорию канонических преобразований, уделив особое внимание группе бесконечно малых преобразований.

А. Пуанкаре изучал «интегральные инварианты» канонических уравнений. Он внес ценный вклад в теорию возмущений в применении к астрономии и особенно в исследование задачи трех тел. Его интересовали также вопросы

геометрии пространства конфигураций «в большом», которые привели его к фундаментальным топологическим исследованиям.

П. Аппель изучал аналитические свойства неголономных систем.

Вклад многих современных ученых в различные новейшие главы аналитической механики выходит за рамки этой книги, посвященной лишь основным принципам.

Связь аналитической механики и современной физики. Два великих достижения современной физики: теория относительности и квантовая механика — теснейшим образом связаны с аналитической механикой. Теория относительности Эйнштейна революционизировала все области физики. Было показано, что ньютонова механика справедлива лишь приближенно для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Однако аналитический метод, основанный на использовании принципа наименьшего действия, остался неизменным. Модифицирована была лишь функция Лагранжа; получение же дифференциальных уравнений движения из принципа минимума осталось. Действительно, полная независимость вариационного принципа от какой-либо специальной системы отсчета делала его особенно ценным для построения уравнений, удовлетворяющих принципу общей относительности. Этот принцип требует, чтобы основные уравнения природы оставались инвариантными при произвольных преобразованиях координат.

Другая революция в современной теоретической физике — квантовая теория — также тесно связана с аналитической механикой, особенно с ее гамильтоновой формой. Теория электронных орбит Бора великолепно использовала гамильтоновы методы, когда выяснилась важность систем с разделяющимися переменными при формулировке квантовых условий. Если раньше методы Гамильтона изучались лишь астрономами, то формулировка квантовых условий Зоммерфельдом и Вильсоном в 1916 г. и расчет эффекта Штарка, сделанный в том же году Эпштейном, убедительно продемонстрировали важность гамильтоновых идей при изучении структуры атома.

Новая интерпретация законов природы при помощи понятий волновой механики в теориях Шредингера, Гейзенберга и Дирака также выросла из методов Гамильтона.

Сопряженные переменные и канонические преобразования составляют часть фундамента новой теории. Как новая черта, в теорию Гейзенберга, Борна и Иордана добавлен матричный характер и -переменных; дираковская же теория рассматривает сопряженные переменные как не коммутирующие величины. С другой стороны, Шредингер, исходя из операционной точки зрения, интерпретировал дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби как волновое уравнение. Исходным пунктом Шредингера была оптико-механическая аналогия Гамильтона.

Несмотря на радикальное отличие новых идей от концепций старой физики, основной чертой дифференциальных уравнений волновой механики является их самосопряженность. Это означает, что они получаются из вариационного принципа. Поэтому, несмотря на все различия в интерпретациях, вариационные принципы механики продолжают играть важную роль в описании всех явлений природы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление