Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Геодезические линии в четырехмерном мире.

Движение частицы, свободной от действия внешних сил, можно описать с помощью принципа действия

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией Кроме того, — это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4

Если интересоваться тем, как свободная частица будет двигаться в криволинейной системе отсчета, то приходится решать вариационную задачу с функцией Лагранжа

где дифференцирование производится по некоторому параметру

Снова перейдем к задаче Гамильтона, как это было уже сделано раньше в гл. VI, п. 10. Функция Гамильтона обращается в нуль, потому что опять однородная форма первого порядка относительно Кроме того, удовлетворяет тождеству [см. (6.10.27)]

где обозначение относится к элементам матрицы, обратной первоначальной матрице с элементами Следовательно, практически функцией Гамильтона нашей задачи является выражение

где в общем случае какие-то заданные функции переменных а значение постоянной в равенстве следует приравнять 1.

Уравнения движения, имеющие также смысл уравнений прямых линий в пространстве Минковского, принимают вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление