Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Релятивистская формулировка ньютоновой скалярной теории гравитации.

Выпишем лагранжевы уравнения, связанные с принципом действия (9.7.4). Сделаем все четыре переменные равноправными, вводя в качестве независимой переменной параметр и рассматривая как функции Тогда

и из уравнений Лагранжа (5.2.1) получим

что может быть записано в виде

или

Помимо перехода от операции ньютоновой физики к инвариантной операции имеется лишь небольшая поправка, заключающаяся в замене на Правда, в ньютоновой физике правая часть уравнения имеет отрицательный знак, поскольку Однако это различие объясняется тем, что мы в качестве координат используем не ньютоновы Если ввести обычные координаты, то правая часть окажется умноженной на —1.

Дав индексу значение 4, мы получим одно дополнительное уравнение, выражающее закон сохранения энергии. Предположим, что V не зависит от (а следовательно, и другими словами, мы предполагаем, что внешнее поле статическое). Тогда четвертое уравнение дает

что с точностью до величин второго порядка относительно совпадает с законом сохранения энергии в ньютоновой механике

Эту же задачу можно решить методом Гамильтона. Для этого используем наш прежний результат, связанный с принципом Якоби (см. гл. 6, п. 10). Формально принцип эквивалентен принципу действия (9.7.4), следует лишь заменить на Отсюда получаем функцию Лагранжа в каноническом виде

где дифференцирование подразумевается по параметру а функция Гамильтона задана в виде

с добавочным условием, что для реального движения энергетическая постоянная в выраяении должна быть выбрана равной единице.

Ньютон объяснил орбиты планет при помощи скалярной функции поля, «гравитационного потенциала». В ранних работах по теории относительности Пуанкаре (1905), а позже Минковский (1908) попытались модифицировать теорию Ньютона, приведя ее в соответствие с четырехмерной структурой мира. В результате они заменили ньютоновы уравнения движения системой (9.8.4). Эти попытки оказались ненужными в связи с появлением в 1916 г. общей теории относительности Эйнштейна, с необычайной убедительностью показавшей, что задача о гравитации требует гораздо более радикальной ревизии наших традиционных представлений (см. ниже, п. 11).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление