Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Исключение циклических переменных.

Хотя канонические уравнения имеют гораздо более простую структуру, чем исходные уравнения Лагранжа, у нас нет общего метода интегрирования этих уравнений. Поэтому при интегрировании уравнений движения по-прежнему необычайно важную роль играют циклические переменные. Как только появляются циклические переменные, становится возможным частичное интегрирование данной механической задачи и сведение ее к более простой. Сам процесс сведения, однако, в гамильтоновой форме механики выглядит гораздо проще, чем в лагранжевой форме.

Если функция Лагранжа не содержит какой-либо определенной координаты скажем то и функция Гамильтона тоже ее не содержит. Последнее из канонических уравнений тогда имеет вид

откуда

Таким образом, при помощи канонических уравнений еще раз установлено постоянство циклических импульсов.

Так как независимые переменные, не может быть возражений против того, чтобы в процессе варьирования использовать условие (6.9.2). Само правило варьирования — при фиксированных граничных значениях — не нарушается, поскольку не варьируется вовсе.

Так как постоянная величина, в функции Гамильтона ее можно заменить на Более того, кинетическая часть интеграла действия принимает вид и

Полученное выражение представляет собой граничный член, который не изменяется при варьировании и потому может быть опущен. Следовательно, интеграл действия сводится к

Этот метод применим при любом количестве циклических переменных.

Задача. Для каждой гамильтоновой задачи существует соответствующая лагранжева задача. Показать, что исключение циклических переменных при гамильтоновом подходе соответствует при лагранжевом подходе процессу сведения Рауса, обсуждавшемуся ранее в гл. V, п. 4.

После решения сведенной механической задачи циклические переменные получаются в виде функций прямым интегрированием, так как правые части соответствующих канонических уравнений

являются явными функциями

Резюме. Исключение циклических переменных в гамильтоновой форме механики является очень простой операцией. Вклад от циклических переменных в кинетической части канонического интеграла опускается, а циклические импульсы в функции Гамильтона заменяются константами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление