Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Неголономные дополнительные условия и полигенные силы.

Если кинематические условия не имеют формы аналитических соотношений между координатами, а представляют собой неинтегрируемые дифференциальные соотношения типа (2.6.1), то уже нельзя уменьшить число степеней свободы путем исключения лишних переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа, однако, по-прежнему применим. В самом деле, из (2.6.1) мы получаем для уравнений Лагранжа

где заданные функции Они заняли место производных которые входили в уравнение в случае голономных условий.

Для физической интерпретации неголономного случая следует заметить, что у сил реакции неголономных связей силовой функции не существует, однако сами силы по-прежнему могут быть определены с помощью метода неопределенных множителей. Положим

Эти можно физически интепретировать как компоненты силы, действующей на механическую систему с целью обеспечить выполнение заданных неголономных условий. Эта сила имеет теперь полигенную природу. Мы убеждаемся еще раз, что неголономные дополнительные условия механически эквивалентны полигенным силам.

Исходя из этой эквивалентности, естественно предположить, что соответствующим образом преобразованные уравнения Лагранжа применимы и в случае полигенных сил. Это действительно так. Полигенную систему сил можно охарактеризовать с помощью их виртуальной работы. Пусть эта работа имеет вид

Единственное отличие от случая моногенной силы заключается в том, что работа не может быть представлена в виде вариации какой-либо скалярной функции. Предположим, что все моногенные приложенные силы учтены

обычным образом в функции Лагранжа а для полигенных сил задана их виртуальная работа (5.9.3). Тогда уравнения движения получаются в форме

Снова, как и в (5.9.1), полигенные силы приводят к появлению «правой части» в уравнениях Лагранжа.

Резюме. Метод множителей Лагранжа остается справедливым и в случае неголономных дополнительных условий. Силы, возникающие в связи с этими условиями по-прежнему могут быть найдены. Эти силы имеют полигенную природу. Неголономные дополнительные условия и полигенные силы одинаково влияют на уравнения движения Лагранжа: они приводят к появлению в этих уравнениях «правых частей».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление