Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Принцип Якоби и риманова геометрия.

Как было выяснено в гл. I, п. 5, геометрическая структура пространства

конфигураций в общем случае не евклидова, а риманова. Пространство конфигураций механической системы, содержащей свободных частиц, является евклидовым и имеет измерений. Однако при наличии связей между частицами пространство конфигураций становится искривленным подпространством с числом измерений, меньшим чем Геометрия этого подпространства характеризуется римановым линейным элементом. Этот линейный элемент определяется кинетической энергией механической системы, записанной в криволинейных координатах

Принцип Якоби наглядно поясняет внутренние соотношения, существующие между движением консервативной голономной системы и геометрией пространств, обладающих кривизной. Введем в дополнение к линейному элементу пространства конфигураций еще один риманов линейный элемент определяемый равенством

Согласно (5.6.12), принцип Якоби требует минимизации определенного интеграла

а это совпадает с нахождением кратчайшего пути между двумя определенными точками в некотором римановом пространстве. Движению механической системы под действием потенциальной энергии V можно сопоставить движение точки вдоль некоторой геодезической линии в данном римановом пространстве. Решение данной динамической задачи математически эквивалентно решению задачи о нахождении этих геодезических линий.

Рассмотрим частный случай, когда потенциальная энергия V обращается в нуль, т. е. когда движение происходит при отсутствии каких бы то ни было приложенных сил. В этом случае мы можем, не вводя дополнительного линейного элемента оперировать непосредственно с линейным

элементом пространства конфигураций . Поскольку принцип Якоби требует, чтобы

Это означает, что С-точка механической системы движется вдоль кратчайшего пути (геодезической линии) пространства конфигураций. Более того, теорема о сохранении энергии дает

откуда видно, что С-точка движется с постоянной скоростью.

Мы имеем здесь замечательное обобщение закона инерции, открытого Леонардо да Винчи и Галилеем: «Под действием собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью». Оказывается, что этот закон справедлив для сколь угодно сложных механических систем с произвольными голономными связями: Однако «частица», представляющая такую систему, движется не в обычном трехмерном, а в -мерном римановом пространстве.

Пример. Частица вынуждена оставаться на некоторой поверхности; к ней не приложены силы. Риманово пространство теперь имеет два измерения, а его геометрия идентична внутренней геометрии заданной поверхности. Движение частицы по поверхности происходит по одной из геодезических линий этой поверхности.

Задача. Показать то же самое при помощи принципа Гамильтона.

Отметим тесную связь между этим геодезическим принципом и динамическим принципом теории Эйнштейна. Там также задача о движении эквивалентна нахождению геодезической линии риманова пространства. Это риманово пространство имеет четыре измерения, так как пространство и время вместе образуют единый четырехмерный континуум. Из закона инерции получается решение задачи о движении планет без введения каких бы то ни было сил гравитации. Принцип Якоби применим в релятивистской механике частицы. Единственная разница заключается в том, что риманова структура четырехмерного континуума является внутренним свойством вселенной, а не следствием наличия кинематических связей.

Резюме. Принцип Якоби связывает движение голономных консервативных систем и риманову геометрию. В частности, если система движется под действием собственной инерции в отсутствии приложенных сил, то изображающая эту систему С-точка описывает геодезическую (кратчайшую) линию в пространстве конфигураций, которое является -мерным римановым пространством. Из теоремы о сохранении энергии следует к тому же, что движение происходит с постояннной скоростью. Все это является естественным обобщением обычного закона инерции, который утверждает, что при наличии лишь собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление