Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Формализм Гамильтона.

В механике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых силовая функция зависит не только от положения частиц, но и от времени. Для подобных систем закон сохранения энергии не выполняется и принцип Эйлера — Лагранжа не применим, однако применим принцип Гамильтона.

В подходе Гамильтона мы также исходим из заданных начальной и конечной точек однако в этом случае пробное движение ничем не ограничивается. Не только траектория выбирается произвольным образом, лишь бы она удовлетворяла естественным условиям непрерывности, но и процесс протекания движения во времени находится

в нашем распоряжении. Потребуем теперь лишь, чтобы наши пробные движения начинались и кончались в те же самые моменты времени что и действительное движение. (Это условие не выполняется в формализме Эйлера — Лагранжа, потому что теорема о сохранении энергии ограничивает движение, и время, затрачиваемое на переход из вдоль пробной траектории, вообще говоря, отличается от времени при движении вдоль действительной траектории.)

Характерной величиной, используемой в этом случае в качестве меры действия и не имеющей, к сожалению, общепринятого названия, является интеграл по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями.

Принцип наименьшего действия в формулировке Гамильтона утверждает, что действительным движением, реализующимся в природе, является то, для которого это действие принимает наименьшее значение.

Можно показать, что в случае «консервативных» систем, т. е. систем, удовлетворяющих закону сохранения энергии, принцип Эйлера — Лагранжа является следствием принципа Гамильтона. Вместе с тем последний остается справедливым и для неконсервативных систем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление