Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Роль принципа Даламбера в механике.

Принцип Даламбера дает полное решение задачи механики. Все остальные принципы механики — это просто математически другие формулировки принципа Даламбера. Наиболее развитый вариационный принцип механики, принцип Гамильтона, может быть получен из принципа Даламбера путем некоторого математического преобразования. В тех случаях, когда оба принципа применимы, они эквивалентны. Однако принцип Гамильтона относится лишь к голономным системам, в то время как принцип Даламбера равно применим и к голономным и к неголономным системам.

Принцип Даламбера более элементарен по сравнению с остальными вариационными принципами, так как он не требует интегрирования по времени. Недостатком принципа является то, что виртуальная работа сил инерции есть полигенная величина, не сводимая к одной скалярной функции. Это делает его неудобным при использовании криволинейных координат. Однако во многих простых задачах динамики, которые могут быть рассмотрены при помощи прямоугольных координат или векторными методами вообще без всяких координат, принцип Даламбера очень полезен.

В некоторых задачах принцип Даламбера оказывается даже более гибким, чем более развитый принцип наименьшего действия. Дифференциальные уравнения движения, определяющие ускорения движущейся системы, являются уравнениями второго порядка. Ускорение это вторые производные координат или первые производные скоростей . Может, однако, оказаться более удобным — и такая ситуация встречается, в частности, в динамике твердого тела характеризовать движение при помощи некоторых скоростей, не являющихся производными действительных координат. Такие величины называют «кинематическими переменными». Хорошим примером является вращение волчка вокруг оси симметрии. Его можно охарактеризовать угловой скоростью вращения где просто бесконечно малый угол поворота, а не дифференциал от какого-либо угла так как такой угол существует лишь в случае, если ось симметрии закреплена. Тем не менее и при незакрепленной оси удобно использовать как величину, характеризующую движение волчка. В принципе наименьшего действия нельзя использовать кинематические переменные, а в принципе Даламбера можно.

Принцип Даламбера важен еще в другом отношении. Делая возможным использование движущихся систем отсчета, этот принцип предвосхищает революционную идею Эйнштейна об относительности движения. Он объясняет также, оставаясь в пределах ньютоновой физики, происхождение тех «фиктивных сил», которые появляются в движущихся системах координат.

Резюме. Принцип Даламбера требует введения полигенной величины для составления виртуальной работы сил инерции; поэтому он, в отличие от принципа наименьшего действия, не дает возможности использовать преимущества криволинейных координат. Однако этот принцип чрезвычайно полезен в задачах, где возможно использование кинематических переменных (неголономные скорости) и движущихся систем отсчета.

В следующих пунктах остановимся на применении принципа Даламбера к ряду типичных задач, в частности, задач, связанных с использованием движущихся систем отсчета. Первое приложение касается вывода закона сохранения энергии, хорошо известного из элементарной механики. Этот вывод, однако, представляет интерес, так как он показывает пределы применимости закона.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление