Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Неравенство Фурье.

Все наши предыдущие рассуждения проводились при молчаливом предположении, что виртуальные перемещения обратимы. Фактически рассматривался случай, когда мы находились где-то внутри пространства конфигураций, так что движение могло осуществляться в любом направлении. Однако ситуация совершенно меняется, когда мы достигаем границ пространства конфигураций. Здесь виртуальные перемещения должны быть направлены внутрь, а противоположно направленные перемещения невозможны, так как они выводят за пределы пространства. Рассмотрим шар, висящий на гибкой нити. Этот шар может двигаться вверх, и при этом он будет лишь ослаблять натяжение нити. Но он не может двигаться вниз, потому что нить этого не допускает. Другой пример: шар может двигаться по поверхности стола, а также в любом направлении вверх; но он не может двигаться вниз. Виртуальные перемещения обратимы при движении в горизонтальном направлении и необратимы во всех других направлениях.

Как указал Фурье, обычная формулировка принципа виртуальных перемещений

относится к обратимым перемещениям; в случае необратимых перемещений ее следует заменить неравенством

Действительно, наша конечная цель — минимизировать потенциальную энергию. Это значит, что при малых, но конечных перемещениях функция V должна всегда увеличиваться

Для бесконечно малых перемещений следует еще добавить знак равенства

Теперь у нас уже нет возражений против знака «больше». Единственный довод, на основании которого мы отбрасывали его раньше, заключался в том, что из-за обратимости перемещений знак «больше» предполагает одновременное наличие и знака «меньше», а последний противоречит предположению о минимуме. При необратимых перемещениях, однако, этот аргумент уже не справедлив, и нам приходится согласиться с неравенством (3.6.4), потому что других возражений против положительного изменения потенциальной энергии нет. Так как изменение потенциальной энергии равно работе приложенных сил, взятой с обратным знаком, то неравенство (3.6.4) можно записать в виде

В такой форме неравенство Фурье справедливо и для полигенных сил, не имеющих потенциальной энергии. Если работа сил на любом виртуальном перемещении равна нулю или отрицательна, то система находится в равновесии.

Когда шар, подвешенный на нити, движется вверх, работа силы тяжести отрицательна. При горизонтальном (и обратимом) перемещении шара она равна нулю. Аналогично, при движении шара вдоль по горизонтальному столу (обратимое перемещение) работа силы тяжести равна нулю, а при движении шара вверх она становится отрицательной. Механическая система, которая не может прийти в равновесие внутри некоторой области пространства конфигураций, будет двигаться к границе области и найдет свое равновесие там. Удовлетворить неравенству (3.6.4) на границе области легче, чем равенству (3.6.1) внутри области. Напомним, что на границе области для равновесия не требуется стационарности потенциальной энергии.

Резюме. Обычная формулировка принципа виртуальных перемещений: «сумма всех виртуальных работ равна нулю» справедлива только для обратимых перемещений. Для необратимых перемещений на границе пространства конфигураций условие «равна нулю» следует заменить — «меньше или равна нулю».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление