Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Равновесие твердого тела.

Твердое тело, свободно перемещающееся в пространстве, имеет шесть степеней свободы: три, связанные с поступательным движением, и три, связанные с вращением. Используя принцип суперпозиции бесконечно малых величин, можно рассмотреть эти два типа перемещений независимо друг от друга.

(А) Поступательное движение. Бесконечно малый параллельный перенос приводит к одинаковому перемещению всех точек твердого тела. Обозначим через величину перемещения, а через В — вектор единичной длины. Тогда для виртуального перемещения частицы можно написать

и выражение для суммарной работы принимает вид

Так как вектор В может принимать любое направление, для обращения в нуль (3.2.2) требуется, чтобы выполнялось равенство

это означает, что равнодействующая всех приложенных сил обращается в нуль.

Рассмотрим поршень, имеющий возможность двигаться внутри цилиндра. Вектор В имеет в этом случае определенное направление. Поэтому для обращения в нуль (3.2.3) необходимо, чтобы равнялась нулю лишь компонента вектора в направлении движения.

(Б) Вращение. Пусть — угол бесконечно малого поворота, вектор единичной длины вдоль оси вращения. Перемещение точки обусловленное поворотом, можно

записать следующим образом:

где вектор определяет положение точки относительно начала координат на оси вращения. Работа силы равна

где мы ввели вектор

для обозначения «момента силы» относительно начала координат.

Следовательно, полная работа всех действующих сил

Отметим полную аналогию между (3.2.7) и (3.2.2): вектор заменяет вектор параллельного переноса В, а момент силу F.

Так как свободное тело может вращаться вокруг любой оси и направление и произвольно, для обращения в нуль (3.2.7) требуется выполнение равенства

Результирующий момент всех приложенных сил обращается в нуль.

Мы получили таким образом второе условие равновесия твердого тела. Так как произвольное виртуальное перемещение твердого тела всегда можно представить в виде суперпозиции бесконечно малых параллельного переноса и поворота, условия (3.2.3) и (3.2.8) совместно определяют равновесие тела.

Замечание 1. Тело может быть закреплено в одной точке, принятой за начало координат. При этом оно теряет степени свободы поступательного движения. Первое условие: «сумма всех сил равна нулю» — отпадает, однако второе условие, обращение в нуль результирующего момента, остается. Радиусы-векторы теперь откладываются от закрепленной точки. Поэтому должен обращаться в нуль результирующий момент относительно этой точки.

Замечание 2. Можно закрепить не только одну точку тела, но и целую ось. В этом случае уже не произвольный вектор, а имеет

направление вдоль данной оси. Для обращения в нуль (3.2.7) достаточно условия

Это означает, что должна обращаться в нуль лишь проекция результирующего момента на ось вращения.

Резюме. Произвольное движение твердого тела складывается из поступательного движения и вращения. При равновесии для исключения возможности поступательного движения требуется равенство нулю суммы всех сил, а для исключения возможности вращения — равенство нулю суммы всех моментов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление