Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Изопериметрические условия.

Дополнительные условия могут быть заданы не в виде алгебраического соотношения между а в форме определенного интеграла, равного некоторой заданной величине С

Дополнительные условия такого вида называются «изопериметрическими условиями», так как исторически они впервые встретились в задаче о нахождении максимальной площади фигуры, ограниченной кривой с данным периметром (задача Дидоны).

Вообще говоря, может быть произвольное число дополнительных условий вида (2.14.1), но мы ограничимся изучением случая, когда имеется лишь одно такое условие; обобщение на случай условий очевидно.

Условие (2.14.1) должно выполняться не только для тех функций которые приводят, к стационарности интеграла (2.11.1), но и для варьированных функций поэтому можно проварьировать (2.14.1), что приводит к следующему интегральному соотношению между

Поэтому наша задача заключается в том, чтобы удовлетворить уравнению

при дополнительном условии (2.14.2). Как и раньше, можно умножить левую часть уравнения (2.14.2) на некоторый неопределенный множитель К и прибавить к . В результате получим

Заменим теперь на , а определенный интеграл суммой, и устремим сумму к интегралу, делая все меньшим и меньшим. При этом к можно все время выбирать таким образом, чтобы в результате интеграл (2.14.4)

обращался в нуль при произвольных вариациях Так как это выполняется независимо от интервалов то будет выполнено и после перехода к пределу. Следовательно, при соответствующем выборе получим при произвольных вариациях

Это означает, что мы снова сумели перевести вариационную задачу с условиями в свободную вариационную задачу, заменив первоначальную функцию на

где X — неизвестная константа.

Из сказанного можно сделать те же выводы, что и в п. 12. Мы снова пришли к уравнениям типа (2.12.5) с той лишь разницей, что — константы, а не функции Эти константы можно определить путем удовлетворения заданным интегральным условиям.

Этот же метод неопределенных множителей применим и тогда, когда изопериметрическое условие (2.14.1) зависит не только от но и от производных по времени

Подобная задача — задача о гибкой цепи — рассматривается в в гл. III, п. 4.

Резюме. Метод множителей Лагранжа можно обобщить на случай дополнительных условий, заданных в виде некоторого определенного интеграла, значение которого не должно меняться при варьировании. Результирующие уравнения имеют тот же вид, что и при алгебраических дополнительных условиях. Единственное различие состоит в том, что в этом случае коэффициенты К — не функции времени, а константы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление