Главная > Разное > Вариационные принципы механики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Формализм Эйлера и Лагранжа.

Для того чтобы понять, как это происходит, рассмотрим частицу, находящуюся! в точке в момент времени Предположим, что нам известна ее скорость в этот момент. Пусть нам также известно, что через некоторый заданный промежуток времени частица окажется в некоторой точке Хотя траектория частицы нам неизвестна, ее можно найти чисто математическим путем при условии, что кинетическая и потенциальная энергии частицы заданы как функции возможных скоростей и возможных положений частицы.

Эйлер и Лагранж первые открыли в точном виде принцип наименьшего действия, заключающийся в следующем Соединим точки и произвольной пробной траекторией. По всей вероятности, эта траектория, в качестве которой может быть выбрана любая непрерывная кривая, не совпадает с действительной траекторией, избранной для движения природой. Однако мы можем постепенно исправлять наше пробное решение и прийти в конце концов к некоторой кривой, которую можно считать действительной траекторией движения.

С этой целью позволим частице двигаться вдоль пробной траектории в соответствии с законом сохранения энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется постоянной и равной тому значению энергии которым обладало действительное движение в момент времени

Это ограничение определяет скорость в каждой точке нашей траектории и определяет таким образом все движение. Траекторию можно выбрать произвольно, но после того, как выбор сделан, закон сохранения энергии определяет движение однозначно.

В частности, можно вычислить время, за которое частица достигнет произвольной заданной точки на нашем фиктивном пути, и, следовательно, интеграл по времени от vis viva, т.е. от удвоенной кинетической энергии, распространенный на весь интервал пути от до Этот интеграл по времени называется «действием». Он имеет определенное значение для нашей пробной траектории, равно как и для любой другой пробной траектории, соединяющей точки и проходимой с тем же значением постоянной энергии

Значение «действия» меняется от одной траектории к другой. Для одних траекторий оно оказывается большим, для других меньшим. Математически можно себе представить, что испробованы все возможные траектории. Среди них должна найтись одна определенная траектория (по крайней мере, если точки не слишком далеки друг от друга), для которой это действие принимает минимальное значение. Принцип наименьшего действия утверждает, что именно эта траектория и избирается природой в качестве действительной траектории движения.

Мы описали механизм применения принципа для одной частицы. Его можно обобщить, однако, на любое число частиц и на сколь угодно сложные механические системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление