Вариационные принципы механики

  

Ланцош К. Вариационные принципы механики.

Книг, посвященных основаниям механики, на русском языке не так много, хотя интерес читателя к этой теме огромен. Книга «Вариационные принципы механики» Корнелиуса Ланцоша должна привлечь читателей своеобразным изложением, в котором автор главное внимание уделил не формальной стороне вопроса, а наглядности, целостности и взаимному проникновению и влиянию идей и понятий. Некоторые неожиданные интерпретации, предложенные автором, могут показаться интересными также и специалистам, так как основой для книги послужили лекции, которые читались автором в университетской аспирантуре.

Книгу с удовольствием прочтут все математически образованные читатели, интересующиеся основаниями механики и физики.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ВВЕДЕНИЕ
1. Вариационные методы в механике.
2. Формализм Эйлера и Лагранжа.
3. Формализм Гамильтона.
4. Вариационное исчисление.
5. Сравнение векторного и вариационного методов в механике.
6. Математическая оценка вариационных принципов.
7. Философская оценка вариационного подхода в механике.
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
1. Характерные черты методов аналитической механики.
2. Обобщенные координаты.
3. Пространство конфигураций.
4. Отображение пространства самого на себя.
5. Кинетическая энергия и риманова геометрия.
6. Голономные и неголономные механические системы.
7. Обобщенная сила и силовая функция.
8. Склерономные и реономные системы. Закон сохранения энергии.
ГЛАВА II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Стационарное значение функции.
3. Вторая вариация.
4. Взаимосвязь стационарных и экстремальных значений.
5. Дополнительные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
6. Неголономные дополнительные условия.
7. Стационарное значение определенного интеграла.
8. Основные операции вариационного исчисления.
9. Коммутативные свойства операции варьирования.
10. Вывод условий стационарности определенного интеграла методами вариационного исчисления.
11. Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа в случае n степеней свободы.
12. Варьирование при наличии дополнительных условий.
13. Неголономные условия.
14. Изопериметрические условия.
15. Вариационное исчисление и граничные условия.
ГЛАВА III. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
1. Принцип виртуальных перемещений для обратимых перемещений.
2. Равновесие твердого тела.
3. Эквивалентность двух систем сил.
4. Задачи о равновесии при наличии дополнительных условий.
5. Физическая интерпретация метода неопределенных множителей Лагранжа.
6. Неравенство Фурье.
ГЛАВА IV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
2. Роль принципа Даламбера в механике.
3. Закон сохранения энергии как следствие принципа Даламбера.
4. Фиктивные силы при ускоренном движении систем отсчета. Гипотеза Эйнштейна об эквивалентности.
5. Фиктивные силы во вращающейся системе отсчета.
6. Динамика твердого тела. Движение центра масс.
7. Динамика твердого тела. Уравнения Эйлера.
8. Принцип наименьшего принуждения Гаусса.
ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛАГРАНЖА
2. Уравнения движения Лагранжа и их инвариантность относительно точечных преобразований.
3. Теорема о сохранении энергии как следствие принципа Гамильтона.
4. Циклические (игнорируемые) координаты и их исключение.
5. Бессиловая механика Герца.
6. Время как циклическая переменная; принцип Якоби; принцип наименьшего действия.
7. Принцип Якоби и риманова геометрия.
8. Дополнительные условия; физический смысл неопределенных множителей Лагранжа.
9. Неголономные дополнительные условия и полигенные силы.
10. Малые колебания около положения равновесия.
ГЛАВА VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
1. Дуальное преобразование Лежандра.
2. Преобразование Лежандра в применении к функции Лагранжа.
3. Преобразование уравнений движения Лагранжа.
4. Канонический интеграл.
5. Фазовое пространство и фазовая жидкость.
6. Теорема сохранения энергии как следствие канонических уравнений.
7. Теорема Лиувилля.
8. Интегральные инварианты, теорема Гельмгольца о циркуляции.
9. Исключение циклических переменных.
10. Параметрическая форма канонических уравнений.
ГЛАВА VII. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1. Преобразования координат как метод решения задач механики.
2. Точечные преобразования Лагранжа.
3. Преобразования Матье и Ли.
4. Канонические преобразования общего типа.
5. Билинейная дифференциальная форма.
6. Скобки Лагранжа и Пуассона.
7. Бесконечно малые канонические преобразования.
8. Движение фазовой жидкости как непрерывное выполнение канонических преобразований.
9. Главная функция Гамильтона и движение фазовой жидкости.
ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
1. Важная роль производящей функции в задаче о движении.
2. Теория преобразований Якоби
3. Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных.
4. Метод Делоне для разделения переменных в периодических системах.
5. Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби.
6. Построение главной функции Гамильтона при помощи полного интеграла Якоби.
7. Геометрическое решение уравнения в частных производных. Оптико-механическая аналогия Гамильтона.
8. Значение уравнения в частных производных Гамильтона в теории распространения волн.
9. Геометризация динамики. Неримановы геометрии. Метрическая интерпретация уравнения в частных производных Гамильтона.
ГЛАВА IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
2. Релятивистская кинематика.
3. Четырехмерное пространство Минковского.
4. Преобразования Лоренца.
5. Механика одной частицы.
6. Гамильтонова формулировка динамики частицы.
7. Потенциальная энергия.
8. Релятивистская формулировка ньютоновой скалярной теории гравитации.
9. Движение заряженной частицы.
10. Геодезические линии в четырехмерном мире.
11. Орбиты планет в теории тяготения Эйнштейна.
12. Гравитационное искривление световых лучей.
13. Гравитационное красное смещение спектральных линий.
ГЛАВА X. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
ПРИЛОЖЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЯ