Главная > Математика > Вероятностные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Обобщения результатов §§ 4 и 5

Рассмотрим теперь следующее обобщение задачи о прогнозе, изученной в § 4. Пусть стационарный в широком смысле процесс и X — произвольная случайная величина с Требуется аппроксимировать X при помощи линейных комбинаций величин с Точнее, требуется найти

т. е. случайную величину из наиболее близкую к . В частности, если то так что задача о нахождении здесь обращается в ту самую задачу, которой мы занимались в § 4. Если определить х равенством

то будет ортогонально ко всем так что

по этой причине в дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать приближения не к X, а к х. На языке функций от к (см. нашу задачу можно сформулировать следующим образом. Задается функция переменного к, измеримая относительно спектральной функции процесса х и такая, что эта функция отвечает х [при соответствии (2.2), так что

Требуетсн найти проекцию функции на многообразие т. е. функцию из замкнутого линейного многообразия, порожденного последовательностью [замыкание с весовой функцией наиболее близкую Решение этой задачи мы будем называть аппроксимирующей функцией, а случайную величину аппроксимацией. Ясно, что

В частном случае, когда очевидно, где прогнозирующая функция на шагов вперед, рассмотренная в § 4. Средний

квадрат ошибки аппроксимации дается формулой

Если процесс сингулярен, то для всех значений Следовательно, в этом случае и средний квадрат ошибки аппроксимации не зависит от

В общем случае ясно, что

Если в регулярном случае представить х в виде его ряда Фурье по ортонормированной последовательности величин фигурирующей в «разложении Волда» (разложении теоремы 4.2),

то можно будет записать в виде

Действительно, при таком задании очевидно, разность ортогональна к

Из § 4 мы знаем, что величинам при соответствии (2.2) отвечают функции где - постоянные, фигурирующие в теоремах 4.2, 4.3 и 4.4. Вообще, легко проверить, что в регулярном случае (2.2) дает нам следующее соответствие между случайными величинами и функциями от X (мы пользуемся здесь обозначениями § 4):

коэффициенты у в этих формулах равны

Средний квадрат ошибки аппроксимации равен

Функции играют основную роль в нашей задаче. Заметим, что из написанного выше выражения функции от X, соответствующей х, следует, что для почти всех X

Последняя использованная здесь запись приведена нами из-за связи ее с корреляпионвыми моментами, естественно возникающими в нашей задаче об аппроксимации,

Формула (6.9) показывает, что являются козффициентами Фурье комплексной функции ограниченной вариации

Таким образом, числа определяют функцию функция определяет коэффициенты вместе с определяют, согласно (6.8), коэффициенты

В случае непрерывного параметра (мы используем обозначения § 5) задается случайная величина X и требуется определить

где

Мы воспользуемся теоремой 5.3 о каноническом разложении процесса Так как то, с одной стороны, эту величину можно представить в виде

а с другой стороны — в виде

Аппроксимацию можно записать в ниде

а аппроксимирующая функция т. е. функция от соответствующая случайной величине дается формулой

Средний квадрат ошибки аппроксимации равен

Если определить функцию равенством

то эта корреляционная функция будет определять функцию для почти всех (относительно меры Лебега) значений функция будет определять и в силу (6.1) и (6.5) функция будет определяться соотношениями

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление