Главная > Математика > Вероятностные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Приложение к выводу теоремы Кемпбелла

Предположим, что какие-то события происходят в случайные моменты времени в соответствии с законом Пуассона, причем средняя плотность числа событий за единицу времени равна Пусть каждое событие имеет некоторую интенсивность и вызывает эффект, величина которого через время после момента возникновения этого события равна и Обозначим через суммарный эффект в момент от всех событий, чившихся до этого момента; тогда

где всевозможные предшествующие моменты появления событий, а интенсивности соответствующих событий. Мы будем предполагать, что -взаимно независимые случайные величины, имеющие одинаковую функцию распределения. Пусть вероятностный процесс, выборочные функции которого постоянны в промежутках между событиями, а в момент возникновения события возрастают на соответствующую интенсивность и Тогда этот процесс имеет стационарные независимые приращения, и

где

Выражения для мы можем теперь записать в виде

если положить при Следовательно, есть стационарный в узком смысле вероятностный процесс, а именно процесс, получаемый скользящим суммированием. Если обозначить

то мы будем иметь

В частном случае, когда распределение вероятностей для и сосредоточено в одной точке, В этом специальном случае формула (3.6) для дисперсии в называется теоремой Кемпбелла.

Согласно теореме для каждого можно определить таким образом, чтобы процесс был измерим. Тогда математические ожидания в (3.6) можно отождествить с временными средними: действительно, так как процесс стационарен в узком смысле и метрически транзитивен (см. § 1 гл. XI), то из закона больших чисел для стационарных в узком смысле вероятностных процессов (т. е. из эргодической теоремы; см. теорему 2.1 гл. XI) вытекает, что с вероятностью 1

В большинстве приложений средняя плотность с числа событий весьма велика. В таком случае нетрудно доказать (например, при помощи мегода характеристических функций), что распределения для приращений процесса а также для значений процесса близки к гауссовским. Это означает, что процесс очень близок к процессу брауновского движения (см. § 2 гл. VIII). Для того чтобы сформулировать этот факт более четко, введем в рассмотрение процесс с независимыми гауссовскими приращениями, удовлетворяющий условию (3.2), так что процесс будет процессом брауновского движения. Определим при помощи равенства

Тогда есть стационарный в узком смысле гауссовский процесс, и процесс асимптотически сближается с (I) при с ; в приложениях обычно рассматривают именно процесс а не сам процесс 0.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление