Главная > Математика > Вероятностные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Приложзние к теории производных

Пусть — произвольное абстрактное пространство и, как обычно, вероятностная мера, определенная на -множествах этого пространства. Пусть при каждом последовательность является конечной или счетной последовательностью непересекающихся -множеств, дающих в сумме все пространство Пусть, далее, борелевское поле -множеств, являющихся суммами множеств (при фиксированном Мы предположим, что каждое из множеств является подмножеством одного из множеств и что при всех Тогда класс множеств ивляется полем. Пусть — борелевское поле множеств, порожденное зтим последним полем. Очевидно,

Пусть любая функция множеств, определенная на поле вполне аддитивная на при каждом Определим -функцию равенством

Тогда тривиальным образом проверяется, что при с вероятностью 1

так что процесс является мартингалом. Настоящий параграф посвящен различным приложениям этого факта. Замшим, что на самом деле наши результаты не ограничиваются лишь тем случаем, когда основная -мера является вероятностной мерой, так как любая конечная мера (не равная тождественно 0) может быть сведена к вероятностной мере введением подходищего нормирующего множителя.

В дальнейшем мы будем говорить, что мы имеем лебеговский случай, если 2 есть одномерный интервал [0, 1], измеримыми -множествами являются измеримые по Лебегу подмножества интервала [0, 1] и обычная мера Лебега.

Пример (абсолютно непрерывная функция Предположим, что функция абсолютно непрерывна, т. е. что существует -функция х, измеримая относительно для которой и такая, что

Тогда тривиальным образом проверяется, что с вероятностью 1

Таким образом, в этом случае величины образуют мартингал, и в соответствии с теоремой 4.3 с вероятностью 1

Применяя к полумартингалу теорему 3.1, находим, что в нашем случае величины равномерно интегрируемы. Обратно, если величины равномерно интегрируемы, то с вероятностью 1 существует предел далее и в силу пункта (II) теоремы 4.1 процесс является мартингалом. Но тогда если определить функцию равенством

то мы получим (в силу свойства мартингала), что

если только настолько велико, что Полагая найдем, что

Следовательно, это равенство выполняется при всех теорему 2.1 дополнения). Мы показали, таким образом, что величины равномерно интегрируемы тогда и только тогда, когда функция абсолютно непрерывна (относительно Если функция определена на поле всех измеримых -множеств и абсолютно непрерывна относительно и если X обозначает ее плотность относительно ее плотность относительно то с вероятностью 1

и развитые выше соображения остаются в силе без каких бы то ни было изменений. Наконец, с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда функция X совпадает почти всюду с функцией, измеримой относительно Например, в лебеговском случае, если интервалы и наименьшая верхняя грань длин интервалов и если то, как легко видеть, поле содержит все подинтервалы интервала [0, 1], а значит, и все борелевские подмножества этого интервала. Отсюда следует, что в этом случае с вероятностью 1.

Пример 2 (сингулярная функция Предположим, что функция сингулирна, т. е. что определена на множествах из что вполне аддитивна и что существует множество называемое сингулярным множеством функции 9, такое, что для некоторого и что

Предположим сперва, что функция неотрицательна. Тогда и величины неотрицательны; следовательно, в сплу пункта (I) теоремы 4.1 предел существует и конечен с вероятностью 1. По лемме Фату для

любого измеримого множества

С другой стороны,

Комбинируя эти два соотношения, находим, что

Так как — борелевское поле множеств, порожденное полем то это неравенство, будучи справедливым при всех должно выполняться и при всех теорему 2.1 дополнения). Но тогда если сингулярное множество функции то

так что (поскольку с вероятностью Если функция у принимает как положительные, так и отрпца. значения, то ее можно представить в виде разности двух неотрицательных сингулярных функций, так что мы снова находим, что с вероятностью 1.

Пример 3 (функция с ограниченным изменением). Пусть функция определена на множествах из и вполне аддитивна. Мы предположим (как всегда в этой книге при рассмотрении функций множеств), что принимает лишь конечные значения. Тогда, согласно известной теореме теории функций множеств, функция имеет ограниченное изменение. Это значит, что существует постоянная К такая, что для любой системы непересекающихся множеств входящих в

Но тогда

так что в силу пункта (I) теоремы 4.1 предел существует и конечен с вероятностью 1. Функция называется производной функции по заданной вероятностной мере относительно разбиении и мы доказали таким образом, что каждая вполне аддитивная функция множества имеет производную по заданной мере относительно заданных разбиений. Так как функция является суммой абсолютно непрерывной и сингулярной функцией относительно то результаты предыдущих примеров позволяют отождествить производную с плотностью абсолютно непрерывной компоненты функции у относительно Если функция определена на то эта производная совпадает с плотностью абсолютно непрерывной компоненты функции относительно тогда и только тогда, когда разбиение является достаточно мелким, или, точнее, тогда и только тогда, когда эта плотность совпадает почти всюду с функцией, измеримой относительно и когда сингулярная компонента функции относительно имеет среди своих сингулярных множеств хотя бы одно множество, входящее в

Пример 4 (лебеговский случай). В лебеговском случае мы предположим, что для каждого выбраны точки причем каждая из точек совпадает с одной из точек и определим как

Пусть действительная функция, определенная на интервале -Положим

Тогда определение величины примет вид

Мы будем считать, что

так что совпадает с классом всех борелевских подмножеств Предположим, что функция имеет ограниченную вариацию, и будем считать известным тот факт, что производная существует почти всюду, что абсолютно непрерывная компонента функции является интегралом от

и что сингулярная компонента функции имеет почти всюду производную, равную 0. Тогда, согласно примеру 3, с вероятностью 1

С другой стороны, можно также использовать результаты примера 3 для того, чтобы доказать сформулированные выше утверждения о существовании и свойствах производной Мы не станем этим заниматься. Пусть — множество всех точек В соответствии с примером 1, если функция абсолютно непрерывна (это условие совпадает с условием, чтобы совпадало на с абсолютно непрерывной функцией, заданной на [0, 1]), то величины равномерно интегрируемы, и обратно, если равномерно интегрируемы, то функция совпадает на с абсолютно непрерывной функцией, определенной на отрезке [0, 1]. Можно получить интересные патологические примеры мартингалов, выбрав в качестве сингулярную функцию. Мы приведем один из таких примеров; в этом примере функция является ступенчатой функцией со скачком в одной единственной точке. Определим равенством

и положим

Тогда

Процесс является мартингалом, величины неотрицательны но с вероятностью 1. В самом деле, точна является единственной точкой, где нет сходимости к 0. Процесс не является мартингалом, так как Это первый приводимый нами пример мартингала в котором предел существует, но процесс уже не является мартингалом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление