Главная > Математика > Вероятностные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Марковские процессы в широком смысле

Пусть семейство действительных или комплексных случайных величин. Предположим, что всех

Определим функцию равенством

Тогда ортогонально к т. е.

Процесс называется марковским процессом в широком смысле (см. § 6 гл. II), если, каковы бы ни были с вероятностью 1

Теорема 8.1. Процесс является марковским процессом в широком смысле тогда и только тогда, когда и функция удовлетворяет функциональному уравнению

Для доказательства теоремы определим как разность

Тогда ортогонально к Если процесс х, являетси марковским ироцессом в широком смысле, то

так что ортогонально также и к т. е.

а это равенство эквивалентно соотношению (8.2). Обратно, если выполнено (8.2), то также выполнено и (8.4), а соотношение (8.4) показывает, что ортогонально к каждому из при т. е. что с вероятностью 1

если Но это равенство эквивалентно условию (8.1), определяющему марковский процесс в широком смысле.

В частности, если процесс действительный и гауссовский и если то в соответствии с общими концепциями о связи понятий в узком и в широком смыслах условие теоремы является необходимым и достаточным для того, чтобы процесс х. был марковским процессом в узком смысле (см. гл. II, § 6).

Теорема 8.1 выглядит особенно просто, если предположить, что процесс х, стационарен в широком смысле (см. § 8 гл. II). В этом случае зависит только от разности так что можно писать вместо Условие (8.2) переходит тогда в условие

Если процесс является последовательностью случайных величин то это соотношение означает, что

где а — некоторая постоянная. В силу неравенства Шварца

так что В случае непрерывного параметра, если известно, что непрерывно, то

где постоянная с имеет неотрицательную действительную часть.

Отметим, наконец, что если процесс это последовательность случайных величин то, как нетрудно показать, условие (8.1) эквивалентно следующему условию: при всех с вероятностью 1

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление