Главная > Математика > Вероятностные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IV. ПРОЦЕССЫ СО ВЗАИМНО НЕКОРРЕЛИРОВАННЫМИ ИЛИ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

§ 1. Общие замечания

В настоящей главе случайные величины будут принимать комплексные значения, и две случайные величины, совпадающие почти всюду, будут считаться идентичными.

Пусть х и у — случайные величины с

Тогда если

то эти случайные величины называются некоррелированными; если же

то они называются ортогональными. Если — некоррелированные случайные величины, то являются ортогональными величинами. При рассмотрении некоррелированных величин эти величины обычно центрируют путем вычитания их математических ожиданий, и в результате возникают ортогональные величины. По этой причине мы будем во всей этой главе рассматривать лишь процессы со взаимно ортогональными значениями. Мы не будем, однако, предполагать, что математические ожидания этих величин обращаются в нуль, так как при доказательстве теорем это предположение обычно бывает излишним, хотя на практике оно чаще всего выполняется. Так же, как и в процессах с независимыми значениями, и по тем же самым причинам здесь интересен лишь случай дискретного параметра; в случае непрерывного параметра соответствующие выборочные функции были бы слишком разрывными для того, чтобы эти процессы могли быть полезными.

Всегда трудно бывает провести границу между теорией вероятностей и теорией меры; делать это при изучении ортогональных величин бессмысленно даже с точки зрения истории возникновения рассматриваемых понятий. На самом деле случайные величины — это просто измеримые функции, а «математическое ожидание» - синоним слова «интеграл»; две функции как обычно, называются ортогональными, если интеграл от равен нулю. Предположение, что полная мера всего пространства равна 1 или даже что она конечна, является, однако, несколько стеснительным и в действительности совсем не нужно. Во всей этой главе мы будем рассматривать только формальные свойства ортогональности, которые не зависят от меры всего пространства. Однако чтобы избежать трудностей, связанных с определенпем интеграла, мы будем предполагать, что если мера всего пространства бесконечна, то это пространство можэт быть представлено в виде суммы счетного числа измеримых множеств конечной меры. Таким образом, в настоящей главе термин «случайные величины» означает измеримые функции на пространстве с мерой без каких-либо других ограничений, кроме указанного выше. Только для согласования с другими частями книги теоремы здесь будут формулироваться в терминах теории вероятностей, а не в терминах теорип меры. В некоторых последующих

глав теоремы об ортогональных рядах будут применяться в случаях, когда полная мера пространства не обязательно равна 1.

Существует много хороших и легко доступных изложений теории ортогональных функций, и поэтому изложение этой теории в настоящей главе будет несколько беглым. Эта схематичность изложения не должна, однако, привести читателя к убеждению, что настоящая глава не является частью теории вероятностей. Закон больших чисел является вероятностной теоремой как в том случае, когда рассматриваемые случайные величины независимы, так и в том, когда они ортогональны, и только исторической традицией объясняется то, что соответствующие теоремы включают обычно в разные книги. Справедливо, впрочем, и то, что специалиста в области теории вероятностей различные специальные последовательности ортогональных функций, как, например, полиномы Лежандра, тригонометрические функции и т. д., интересуют меньше, чем специалиста в области анализа; обычно его больше интересуют свойства, которыми обладают все такие последовательности, а не только некоторые из них.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление