Главная > Математика > Вероятностные процессы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОЦЕССА. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ПРОЦЕССОВ

§ 1. Определение вероятностного процесса

С общей точки зрения вероятностный процесс — это любой процесс, протекающий во времени и управляемый вероятностными законами. Наблюдения над численными характеристиками такого процесса, производимые в последовательные моменты времени, выявляют его эволюцию. Основываясь на этом, мы определяем вероятностный процесс, как произвольное семейство случайных величин . В применениях это то, что наблюдается в момент совокупность рассматриваемых моментов времени.

Во многих классических задачах теории вероятностей рассматриваются лишь конечные семейства случайных величин, т. е. за область значений принимается конечное множество. Однако в последующих главах почти всегда рассматриваются процессы, которые включают в себя бесконечно много случайных величин, и термин вероятностный процесс применяется нами обычно только в этом случае. Двумя наиболее важными случаями являются следующие:

(а) Т является бесконечной последовательностью, имеет вид

или

или

Этот тип процесса называется процессом с дискретным параметром.

(б) Т является интервалом, является семейством случайных величин, зависящих от непрерывного параметра. Этот тип процесса называется процессом с непрерывным параметром. Течение нашего процесса задается здесь некоторой функцией от определенной на интервале, в то время как в случае дискретного параметра течение процесса задается некоторой последовательностью. Обобщая эти два случая, мы будем в дальнейшем называть процессом с дискретным параметром любой процесс, у которого множество значений параметра конечно, или счетно, и процессом с непрерывным параметром — любой процесс, у которого множество значений параметра несчетно.

Наше определение вероятностного процесса исторически условно и обладает очевидными дефектами. Во-первых, с математической точки зрения нет никаких оснований ограничиваться множествами являющимися множествами действительных чисел; и в самом деле, интересные результаты уже получены и для ряда других случаев (конечно, интерпретация как времени должна быть тогда отброшена). Во-вторых, нет никаких

математических оснований ограничивать значения, принимаемые только числами. Однако в этой книге мы будем всегда рассматривать только такие процессы, где одномерное точечное множество, и случайные величины будут здесь почти всегда действительными комплексными числами. Мы разрешим также действительным случайным величинам, задающим процесс, принимать значения но только с вероятностью 0.

Нате определенпе вероятностного процесса очень широко, так как найдется немного задач теории вероятностей, которые не моглп бы быть сформулированы как задачи о семействах случайных величин. Исторически, однако, наименование вероятностные процессы сохранилось за семействами (обычно бесконечными) случайных величин с некоторыми простыми взаимосвязями между величинами. Одной из основных задач является установление подходящих классов таких взаимосвязей, т. е. обнаружение новых типов вероятностных процессов, являющихся полезными Или математически изящными или же вообще каким-либо образом удовлетворяющих критерию важности, применяемому исследователем.

Пусть вероятностный процесс. Функция от возникающая, еслп в фиксировать но считать переменным параметр называется выборочной функцией процесса. (Если конечно или счетно, выборочная функция будет, очевидно, выборочной последовательностью.) Случайные величины возникающие, если в фиксировать мы будем иногда называть значениями процесса (в момент

Пусть любое конечное множество значений параметра процесса Многомерное распределение случайных величин называется конечномерным распределением вероятностей процесса. Конечномерные распределения являются основными распределениями для процессов, рассматриваемых в этой книге, и мы будем поэтому классифицировать сами процессы в зависимости от свойств их конечномерных распределений.

Пусть борелевское поле множеств, порожденное классом множеств вида где любое борелевское множество (одномерное, если действительны, двумерное, еслп они комплексны). Тогда является наименьшим борелевским полем, относительно которого измеримы все величины Не изменяя можно предположить, что используемые в его определении множества А принадлежат несколько более узкому классу множеств. Например, в качестве А можно брать одни только правые полузамкнутые интервалы.

Пусть — поле -множеств вида

где любое конечное множество значений параметра и А — правый полузамкнутый интервал (-мерный, еслп действительны, -мерный в комплексном случае). Тогда это борелевское поле, порожденное В соответствии с теоремой 2.4 дополнения, если — некоторое -множество, являющееся измеримым множеством выборочного пространства семейства (определение этого понятия см. в § 7 гл. I), и если то существует множество входящее в такое, что

В силу той же самой теоремы, если случайная величина, измеримая относительно семейства величин то существует функция х, от

принимающая только конечное число значений, каждое на некотором множестве из и такая, что

Данная вероятностная мера на 2 определяет меру на классе множеств Пусть область определения последней меры после пополнения (см. дополнение, § 2); другими словами, состоит из множеств, принадлежащих а также из множеств, отличающихся от них на подмножество множества из вероятностп 0. Если заданная вероятностная мера не является полной, то множества из не обязаны все быть измеримыми, однако в любом случае имеется только один способ для определения их вероятностей, согласующийся с конечномерными распределениями. Действительно, конечномерные распределения задают вероятности множеств из вероятностная мера на однозначным образом расширяется до меры на множествах (см. дополнение, теорема 2.1) и, наконец, вероятностная мера на пополняется до меры на единственным образом.

Если некоторые множества, не входящие в являются измеримыми, т. е. если им приписаны вероятности, то эти вероятности являются, в некотором смысле, побочными. В тех случаях, когда такие вероятности нужно определить при помощи основных вероятностей, заданных на т. е. при помощи конечномерных распределений, оказывается необходимым введение некоторых дополнительных принципов. Прежде чем систематически изучить этот вопрос, мы проиллюстрируем его на одном почти тривиальном примере. Пусть полузамкнутый интервал (0,1] и измеримыми множествами являются любые суммы полузамкнутых интервалов причем вероятностной мерой является обычная длина. Пусть вероятностный процесс состоит из единственной случайной величины х, равной на из определенных выше полузамкнутых интервалов. Эта случайная величина представляет собой математическую модель, описывающую результаты однократного бросания правильной кости. Поля и в этом примере совпадают и состоят из всех измеримых множеств. Очевидно, есть много способов определить меры других множеств так, чтобы они согласовались с уже заданными мерами. Например, множество, состоящее из одной точки не является сейчас измеримым. Ему можно приписать вероятность и тогда остальной части интервала нужно приписать вероятность 0. С другой стороны, совершенно иная мера, согласованная с первоначально заданной, возникает, если каждому измеримому по Лебегу подмножеству интервала (0, 1] приписать его лебеговскую меру. При таком задании множество, состоящее, из одной точки также измеримо, но имеет вероятность 0. Задание этих новых вероятностей не влияет на распределение случайной величины х.

Мы исследуем теперь этот вопрос систематически, используя при этом изображения семейств случайных величин, рассмотренные в § 6 гл. I. Предположим, что задан вероятностный процесс Допустим, что этот процесс является действительным; изменение дальнейших рассуждений, необходимое в комплексном случае, совершенно очевидно. Пусть действительная функция от мы разрешим этой функции принимать значения Пусть У — пространство всех точек т. е. всех функций от Тогда У является координатным пространством, размерность которого равна кардинальному числу множества Пусть есть координата т. е. звачение функции от при Тогда дает изображение в пространстве функций.

Если конечное множество, состоящее из точек то 2 становится n-мерным пространством точек

Приписывая для каждого -мерного борелевского множества А множеству точек

вероятность

мы определим меру на борелевских множествах пространства . В соответствии с нашими предыдущими обозначениями мы обозначим через поле -мерных борелевских множеств. Пополнив полученную таким образом меру борелевских множеств, мы получим -мерную меру Лебега — Стильтьеса.

Если бесконечно, то 2 становится бесконечномерным декартовым пространством. Пусть борелевское поле, порожденное классом -множеств вида (1.1). Меру на можно получить, если

«конечномерным» -множествам (1.1) приписать вероятности (1.2) и вообще каждому множеству из приписать вероятность, равную вероятности -множества задающего выборочные функции из т. е. вероятность такого -множества А, что если то определяет функцию от являющуюся элементом А (см. дополнение, пример 3.2 и § 6 гл. 1). При каждом функция от оказывается теперь случайной величиной, причем для каждого конечного -множества случайные величины зависящие от имеют то же самое совместное распределение, что и случайные величины зависящие от Семейство случайных величин было названо в § 6 гл. 1 изображением семейства Каждое семейство случайных величин имеет, таким образом, изображение, основным пространством которого является пространство функций.

С другой стороны, мы видели в § 5 гл. I, что если -любое множество и пространство всех функций от то вероятностную меру на борелевском поле можно задать, приписывая согласованным образом (конечномерные) меры -множествам вида (1.1) и затем расширяя эту меру на остальную часть Таким образом, мера на множествах может быть получена двумя различными способами: во-первых, как мера, порожденная заданвым семейством случайных величин, и, во-вторых, как мера,- порожденная заданным семейством (согласованных) конечномерных распределений. В обоих случаях мы получим в результате семейство

Использование семейства имеет то преимущество, что при этом мы полностью контролируем весь класс измеримых множеств. Мы уже отмечали, что для произвольного семейства случайных величин можно задать вероятности некоторых множеств, не входящих в Однако такое задание окажется в некотором смысле произвольным, так как эти вероятности не будут определяться однозначно вероятностями множеств 3-а и общими свойствами меры. Для некоторых целей, которые будут обсуждаться в § 2, нам придется задавать вероятности множеств, не входящих в причем для того, чтобы получить плодотворную теорию, это задание нужно будет произвести некоторым специфическим

образом. Так как эти вероятности уже могли быть определены каким-нибудь другим способом, то теория встречается здесь с реальными трудностями. Повидимому, два наилучших способа устранить эти трудности состоят. в следующем: а) можно изменить случайные величины заданного семейства так, чтобы их конечномерные распределения остались теми же самыми, а множества, которые мы хотим сделать измеримыми, вошли в можно развивать теорию на основе пространства и поля измеримых множеств, определив вероятности множеств, не входящих в любым желаемым, способом, лишь бы это определение согласовалось с общими свойствами меры. Первый метод использован в большинстве рассмотрений этой книги. Обе возможности обсуждаются в § 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление