Главная > Теория информаци и связи > Теория информации и надежная связь
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ КАНАЛЫ С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВЫМ ШУМОМ

В следующей главе канал с непрерывным временем и аддитивным гауссовым шумом будет сведен к множеству параллельных дискретных по времени каналов с аддитивным гауссовым шумом. Следующая теорема позволяет найти пропускную способность такого параллельного соединения каналов.

Теорема 7.5.1. Рассмотрим множество из N параллельных дискретных по времени каналов с аддитивными гауссовыми шумами и

днеперсиями шумов Пусть входы каналов удовлетворяют ограничению

Рис. 7.5.1. Интерпретация, связанная с «наполнением водой» для параллельных дискретных по времени каналов с аддитивным гауссовым шумом

Тогда пропускная способность достигается на входах, представляющих собой статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями

где удовлетворяют соотношениям

и где В выбрано так, что Пропускная способность параллельного соединения каналов равна

Обсуждение. Графическая интерпретация распределения для входных энергий, используемых в различных каналах, приведена на рис. 7.5.1. Можно представить себе общую энергию как объем воды, которая помещается в резервуар с неровной формой дна, определяемой дисперсиями шума. Уровень, до которого поднимается вода, равен В, а определяет глубину воды в различных частях резервуара.

Доказательство. Пусть и совместные входные и выходные ансамбли. Так же как и (7.2.19), доказывается, что

с равенством, когда входы независимы. Пусть среднеквадратическое значение входа для любого заданного совместного ансамбля. Тогда, используя теорему 7.4.2, имеем

с равенством, когда входы — гауссовские случайные величины с нулевым средним. Правая часть (7.5.7) — выпуклая функция вектора Теперь осталось провести максимизацию этой функции в выпуклой области, где Очевидно, максимум имеет место, когда следовательно, рассматриваемая задача тождественна максимизацйи выпуклой функции вектора вероятностей. Из теоремы 4.4.1 вытекает, что необходимые и достаточные условия максимума будут

с равенством, когда выбранным так, что удовлетворяется равенство Дифференцируя, выводим

Выбирая , получаем (7.5.3) и (7.5.4). То что получается максимум, задаваемый (7.5.5) и (7.5.6), следует из соотношений (7.5.7), (7.5.4) и (7.5.5).

Далее распространим границу случайного кодирования и границу для процедуры с выбрасыванием на параллельные каналы с аддитивным гауссовым шумом. Для простоты обозначения примем, что длина блока равна 1. Результаты могут быть применены к произвольной длине блока если рассмотреть множество параллельных каналов с N повторениями каждого из первоначальных каналов.

Для N параллельных каналов с дисперсиями шумов соответственно совместная переходная плотность вероятности множества каналов равна

Примем, что каждое кодовое слово должно удовлетворять соотношению

В качестве входной плотности для ансамбля кодов выберем

где будут выбраны ниже, но так, чтобы они удовлетворяли соотношению

Так же как и в § 7.3,

выбрано так, чтобы интеграл от был равен 1. Используя теорему 5.6.1 в интегральной форме, находим, что вероятность ошибки по ансамблю кодов кодовыми словами удовлетворяет неравенству

для любых Ограничивая сверху для любого неравенством

оценку (7.5.12) можно упростить и привести к виду

Выражение в (7.5.15) совпадает с интегралом, который вычислен в (7.4.2) так, что

Как и в (7.3.21) для любого теперь можно установить существование кода с кодовыми словами, каждое из которых удовлетворяет неравенству

Максимизируем теперь экспоненту в (7.5.17) по с помощью той же самой процедуры, которая использовалась для одного канала с аддитивным гауссовым шумом. Имеется дополнительная задача максимизации по энергии отдельных входов при ограничениях

Положим

Тогда в (7.5.16) можно заменить выражением

Нужно максимизировать

по На величины наложены ограничения Так как выпуклая по функция, то необходимое и достаточное условие максимума по состоит в том, чтобы для некоторого К и всех

с равенством, когда Временно не будем рассматривать связь между накладываемую равенствами (7.5.19), а в дальнейшем покажем, что полученное решение будет удовлетворять (7.5.19) при некотором Таким образом, так же как и в (7.4.26) и (7.4.28), имеем

Сочетая (7.5.22) и (7.5.23), получаем

Если ввести величину В, равную то (7.5.25) принимает вид

Далее из (7.5 24) видно, что если то Следовательно, если то (7.5.26) означает, что Кроме того, из (7 5.23) видно, что убывает по и возрастает по Таким образом, решение для в (7.5.24) является возрастающей функцией для Поскольку (7.5.26) удовлетворяется с равенством для то это означает, что если Другими словами, по всем каналам с дисперсией шума, меньшей чем В, посылаются сигналы с положительной энергией, а все каналы с дисперсией шума, превосходящей В, не используются (т. е. их входы всегда

равны 0). Для каналов, удовлетворяющих условию значения с помощью (7.5.23) можно выразить через и получить

Так как то это равенство можно записать в виде

Просуммировав по получим неявное выражение для параметра В

Правая часть (7.5.28) — непрерывная возрастающая функция В. Это следует из того, что каждое слагаемое является непрерывной функцией и когда новое слагаемое входит в сумму, оно возрастает, начиная с нулевого значения. Следовательно, (7.5.28) имеет единственное решение для В, которое в свою очередь определяет по (7.5.26) и по (7.5.27). Если то любое согласуется с (7.5.19). Если и удовлетворяет (7.5.23), то значение удовлетворяющее (7.5.19), вычислено в (7.4.38) и равно

Таким образом, одно и то же значение удовлетворяет (7.5.19) для всех и наше решение является совместным. Далее выполним максимизацию по Имеем

Так же как (7.4.29), это выражение упрощается к

Наконец, совпадает с вычисленным при заданных

В (7.5.33) только слагаемые с дают вклад в сумму. Используя соотношение (7.5.19) для слагаемых, не содержащих знак логарифма, и (7.5.23) для слагаемых со знаком логарифма, получаем

Суммируя по и используя выражение (7.5.29) для получаем

Равенства (7.5.28), (7.5.32) и (7.5.34) — параметрические соотношения с параметрами связывающие энергию скорость и показатель экспоненты Легко видеть, что является непрерывной и строго возрастающей функцией (при Следовательно, уравнение при фиксированной энергии определяет В как функцию и это неявно определяет как функцию как функцию Для как это можно увидеть, сравнив (7.5.28) и (7.5.32) с теоремой 7.5.1, получающаяся скорость совпадает просто с пропускной способностью канала при заданном Показатель экспоненты равен нулю при При фиксированной энергии с возрастанием величина В убывает, также убывает, а возрастает. Как и ранее, наклон как функции R равен — что легче всего можно увидеть из графика рис. 5.6.4. Когда при фиксированном значение возрастает до убывает до критического значения задаваемого соотношением

Значению соответствует критическое значение скорости, определяемое по формуле

Параметрические уравнения (7.5.28), (7.5.32) и (7.5.34) применимы только при фиксированном и для R из области Для показатель экспоненты максимизируется на значении с решениями для и указанными выше. Это приводит к показателю экспоненты задаваемому равенством

Следует отметить, что во всем интервале скоростей распределение энергии по множеству каналов дается формулой (7.5.27) при соответствующим образом выбранных С изменением R при фиксированном обе величины изменяются и изменяется распределение

энергии. Другими словами, использование теоремы 7. 5.1 на практике для распределения энергии между параллельными каналами с гауссовыми шумами не всегда разумно, даже тогда, когда в системах применяются сложные системы кодирования.

Коэффициент в выражении вероятности ошибки может быть оценен как и ранее с помощью центральной предельной теоремы. Имеем

Выбирая и применяя (7.5.29), получаем

Граница случайного кодирования для процедуры с выбрасыванием для параллельных каналов с аддитивными гауссовыми шумами получается как обобщение результата для одного канала с гауссовым шумом и доказывается тем же методом, что и граница случайного кодирования. Используя ансамбль кодов, описанный соотношением (7.5.9), найдем, что для любого существует код с кодовыми словами, каждое из которых удовлетворяет ограничению на энергию и

где

Подставляя и

выражение можно переписать следующим образом:

Теперь найдем максимум величины

по . На опять наложены ограничения Так как выпуклая по функция, то необходимые и достаточные условия для максимума по состоят в том, что для некоторого К и всех

с равенством, если Опять временно не будем учитывать связи между задаваемыми (7.5.42), и максимизируем по каждому отдельно. Получаем

Для удовлетворяющих обоим равенствам (7.5.46) и (7.5.45), можно упростить (7.5.45), приведя его к виду

Следовательно, если В положить равным то (7.5.48) примет вид

с равенством, если

Из (7.5.47) видно, что при и поэтому из (7.5.49) следует, что Имеем при следовательно, гак как то Итак, с положительной энергией используются только те каналы, для которых

Далее выведем выражение для Из (7.5.46) находим

Для имеем и (7.5.50) принимает вид

Равенство (7.5.52) дает неявное решение для В через и оно, в свою очередь, определяет из (7.5.51) и из (7.5.49).

Для удовлетворяющих (7.5.46), значение удовлетворяющее (7.5.42), найдено в (7.4.55). Имеем

Следовательно, одно и то же значение удовлетворяет (7.5.42) для всех и решения для совместны.

Далее, максимизируется по когда или когда

Так же как при переходе от (7.4.47) к (7.4.51), из полученного выражения будем иметь

С помощью (7.5.49) эти равенства приводятся к виду

Равенства (7.5.52), (7.5.57) и (7.5.58) связывают параметрически через Они справедливы только для которое для заданного определяет верхнюю границу для В из (7.5.52). Сравнивая (7.5.52) при с (7.5.36) видим, что этим предельным значением В будет как раз Следовательно, при данном граница для процедуры с выбрасыванием справедлива, когда

Наконец, применяя приближение (7.5.38) для выбирая и применяя равенства (7.5.53) для можно связать R со скоростью R из (7.5.41) с помощью соотношения

Результаты этого параграфа суммируются в следующей теореме, принадлежащей Эберту (1965).

Теорема 7.5.2. Пусть задано множество N параллельных дискретных по времени каналов с аддитивными гауссовыми шумами и дисперсии шумов равны Для любого и любого существует такой код с кодовыми словами,

что каждое кодовое слово удовлетворяет ограничению

и для каждого кодового слова вероятность ошибки ограничена неравенством

где и задаются равенствами (7.5.32), (7.5.28), и (7.5.34). Для фиксированного при изменении от 0 до строго и непрерывно убывает от С до а строго и непрерывно возрастает от 0 до Для существуют коды с кодовыми словами, энергия каждого из которых не более и для каждого слова

Кроме того, для любого

и любого существуют коды с словами, энергия каждого из которых не более и для каждого слова

где и задаются формулами (7.5.57), (7.5.52) и (7.5.58) соответственно. Для фиксированного при возрастании от 1 до функция строго и непрерывно убывает от а строго возрастает.

В следующей главе будет показано, что при применении этих результатов для параллельных каналов к каналам с непрерывным временем коэффициент в (7.5.61) и разность между в (7.5.60) будут несущественны и основное внимание сконцентрируется на показателях экспонент Эберт (1965) вывел также нижние границы вероятности ошибки для параллельных каналов с аддитивными гауссовыми шумами; показатель экспоненты его нижней границы совпадает с для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление