Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Циклическая прогонка

Циклическая прогонка используется для нахождения периодического решения разностного уравнения (или системы разностных уравнений). Подобные задачи возникают при приближенном решении уравнений с частными производными в цилиндрических и сферических координатах. Рассмотрим систему уравнений

Такая алгебраическая задача возникает при отыскании периодического, решения системы трехчленных уравнений при условии

Относительно коэффициентов системы (1) будем предполагать, что

Систему (1) запишем в виде

где

а матрица имеет вид

Присутствие отличных от нуля членов в правом верхнем и левом иижием углах матрицы не позволяет решать (3) (или (1)) обычным методом прогоики.

Для решения (3) применяется идея метода окаймления Фаддеев, В. Фаддеева [1]). Запишем (3) в виде

где

Решение уравнения (5) представим в виде

где решения задач

Поскольку матрица является матрицей Якоби, то решения задач (10) могут быть найдеиы методом обычиой прогонки. Из (9) и (6) иаходим

находим из (9).

Приведем получающиеся формулы решения задачи -формулы циклической прогонки:

Метод циклической прогонки является устойчивым, так как решения задач (10) ищутся методом прогонки, который устойчив при выполнении условий (2), а знаменатель в выражении для не обращается в нуль.

Действительно, из (2), (11) видно, что

Предполагая получаем

Учитывая (12) и (14), находим Из всего сказанного следует, что

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление