Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дополнение

§ 1. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами

Рассмотрим вариант метода прогонки, применяемый при решении задач с сильно меняющимися коэффициентами. Примерами таких задач являются задачи гидродинамики с теплопроводностью и магнитной гидродинамики, где коэффициенты теплопроводности, электропроводности сильно зависят от термодинамических параметров среды. В случае тепловых задач могут иметь место адиабатические участки, где теплопроводность отсутствует, а также изотермические участки, где теплопроводность бесконечно велика. В магнитных задачах — соответственно, идеально проводящие и неэлектропроводпые участки. Поясним существо метода на модельной задаче: найти функцию удовлетворяющую уравнению

и дополнительным условиям

где Коэффициент сильно меняющаяся функция

Когда коэффициент теплопроводности стремится к бесконечности, а производная к нулю, величина потока остается конечной. Поэтому при решении задачи (1), (2) в качестве искомой функции, кроме введем также поток

Предположим наличие между искомой функцией и потоком связи вида

Так как коэффициенты в (4) определены с точностью до множителя, то на функции следует наложить дополнительное условие. Например, можно потребовать

Впрочем, в зависимости от типа краевой задачи, характера коэффициента и т. п.) можно вместо (5) на налагать другие условия. Например, иногда удобно считать либо или полагать а — некоторая функция, Для решения задачи (1) — (3) введем сетку

с шагами В узлах будем вычислять сеточную функцию соответствующую функции

Введем также сетку

где В узлах с целыми индексами будем определять сеточную функцию аналог потока В узлах уравнение (1) аппроксимируем схемой

где сеточные функции, являющиеся аналогами коэффициентов Например, положим Используя разложение и полагая — краевое условие (2) при аппроксимируем разностным выражением

Аналогично аппроксимируется краевое условие (2) при

Введем обозначения

Объединяя (6) — (8), учитывая (9), приходим к задаче

Предположим, что существует связь

и найдем рекуррентные формулы для вычисления прогоночных коэффициентов и искомых функций Поскольку в данном случае то оказывается удобным дополнительное условие нормировки взять в виде

Пусть получено соотношение (12) при условии (13), связывающее функции и ирогоночные коэффициенты в точках и Исключая и из (12), (10) и требуя, чтобы соотношение (12) выполнялось в точке (т. е. имело бы место равенство приходим к соотношениям

где — произвольный пока множитель. Потребуем, чтобы в точках выполнялось соотношение (13), т. е. Тогда находим,

Из условий и краевого условия

имеем

где

Для вычисления и можно пользоваться рекуррентными соотношениями

Для определения значения из второго граничного условия (11) и первого рекуррентного соотношения (17) при получаем

Отметим, что коэффициент при счете не используется. При выбранной нормировке прогоночные формулы оказываются наиболее простыми.

При больших коэффициентах вычисление потока по формуле

приводит к существенной потере точности. Это и послужило причиной введения потока в качестве дополнительной искомой функции и вычисления его по рекуррентному соотношению (17).

В том случае, когда величина оказывается малой, например, вместо формул (14), (16) следует пользоваться формулами

и

Из структуры приведенных рекуррентных формул видно, что они устойчивы по отношению к случайной ошибке.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление