Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Итерационная схема для разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности.

Для задачи (13) рассмотрим схему повышенного порядка точности на прямоугольной сетке с шагами

где Эта схема была получена в гл. IV, § 1. Здесь

Схема (75) имеет точность а на квадратной сетке при соответствующем выборе точность

Рассмотрим соответствующее операторное уравнение (неоднородные краевые значения учитываем изменением правой части в приграничных узлах):

где линейные операторы, заданные на Предположим, что

1) самосопряженные операторы и

2) перестановочны, .

3) , так что существуют положительные операторы

Лемма 3. Если выполнены условия 1) и 3), то операторы

имеют границы и т. е.

где определяются формулами

Представим в виде Из условия (77), в силу самосопряженности следует, что

Так как

Лемма доказана.

Лемма выполнены условия 1) — 3), то уравнение (76) эквивалентно уравнению

где определяются согласно (78) и являются самосопряженными положительными операторами с границами

В самом деле, перепишем (76) в виде

Применяя к (81) оператор и учитывая перестановочность всех операторов, получим (80). Обратный ход рассуждений очевиден.

Итак, решение уравнения (76) сведено к решению уравнения (80) с самосопряженными перестановочными операторами границы которых определяются по формулам (79).

Для уравнения (80) можно воспользоваться продольно-поперечной схемой. Однако, имея в виду переход от будем исходить из факторизованной схемы

Применим к обеим частям этого уравнения оператор

и учтем, что все операторы перестановочны и

В результате получим схему

Записывая эту схему в каноническом виде

убеждаемся в том, что она точно аппроксимирует уравнение (76) на решении Итерационная схема (83) эквивалентна продольно-поперечной схеме

Эквивалентность (83) и (85), (86) доказывается по аналогии с гл. VII, § 1. Из (85) и (86) находим (умножая на на и складывая результаты):

Подставляя (87) в (85), получим (83). Обратный ход рассуждений очевиден.

Для погрешности очевидно, получим однородное уравнение (83), которое эквивалентно однородному уравнению (82). Поэтому разрешающий оператор схемы (83) равен разрешающему оператору схемы (82), который был рассмотрен выше (в п. 3 и п. 4). Тем самым задача о выборе итерационных параметров для схемы (85), (86) или (83) свелась к уже решенной задаче о выборе итерационных параметров для схемы (82). Нужно лишь всюду в формулах и 5 заменить 6а, Да величинами 6а, Да.

Общие рассуждения для операторного уравнения (76) закончены. Обратимся теперь к схеме повышенного порядка точности.

Сначала опишем вычислительный алгоритм. Подставляя в (85), (86) вместо оператор получаем

Как ставить граничные условия?

1) Если правые части учитывают в приграничных узлах неоднородные краевые условия, то положим

2) Если же мы хотим поставить граничные условия на не меняя в приграничных узлах, то следует учесть, что уравнение

(87) должно выполняться не только при но и на границе при Полагая в получаем

Следует иметь в виду, что

Порядок счета: 1) вычисляются и по формулам (79), 2) зная и пользуясь результатами п. 4, находим параметры соответствующие схеме (88), 3) после этого методом прогонки по строкам и столбцам решаем систему уравнений (88) с краевыми условиями (89).

В п. 4 была получена приближенная формула для числа итераций обеспечивающих точность Для задачи (88), (89) она имеет вид

где

Пользуясь этой формулой, нетрудно сравнить число итераций для схемы второго порядка точности и для схемы повышенного порядка точности Из (90) видно, что

где определяется по тем же формулам, что и если заменить в них 1 на на на . Приведем результаты сравнения для случая квадрата со стороной и квадратной сетки с При этом

1,10 при при при

Объем вычислений на каждую итерацию для обеих схем практически одинаков, а различие в числе итераций незначительно. Так как схема повышенного порядка точности позволяет пользоваться более грубой сеткой для достижения заданной точности, то ее применение особенно выгодно в тех случаях,

когда решение задачи (13) обладает достаточной гладкостью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление