Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. Аддитивные схемы для систем уравнений.

Рассмотрим задачу (83), (84) § 2 для системы уравнений параболического типа. Прежде чем переходить к написанию аддитивной схемы для решения задачи (83), (84) § 2 представим оператор в виде суммы двух треугольных операторов,

Для этого представим матрицы в виде суммы Где треугольные матрицы с элементами

Матрицы сопряжены друг другу, так как Отсюда следует, что

Введем операторы

и представим в виде

Решение системы уравнений (83) § 2 или

где сведем к последовательному решению

системы уравнений

Аппроксимируем операторами вида

Очевидно, что аппроксимирует со вторым порядком. Коэффициенты будем брать в один и тот же для всех и момент или в какой-либо другой момент

Напишем теперь аддитивную схему

где и а меняется от до при этом а меняется от до 1.

При задаются обычные краевые условия:

Начальное условие удовлетворяется точно:

Для определения получаем системы уравнений

Так как диагональная матрица с клетками, являющимися нижними треугольными матрицами, то из системы уравнений

последовательно от методом прогонки находятся компоненты вектора Двигаясь от а к а и от мы при помощи формул прогонки для трехточечного уравнения последовательно определим векторы у а), Аналогично от а каиот из системы

определяются векторы Последний вектор и есть решение на слое

Так как система дифференциальных уравнений (95) аппроксимирует уравнение (83) § 2 в суммарном смысле, а каждое из уравнений (96) номера а аппроксимирует уравнение (95) того же номера в обычном смысле, то аддитивная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком

Рассмотрим пространство сеточных вектор-функций, заданных на сетке и равных нулю на границе сетки. Введем в скалярное произведение:

Рассмотрим операторы

Покажем, что операторы сопряжены:

если матрица симметрична, т. е. выполнено условие

В самом деле, так как то

что и требовалось доказать. Отсюда следует, что

где так что

Таким образом положительно определенные операторы:

Чтобы доказать устойчивость схемы воспользуемся теоремой 1 из п. 4, согласно которой для задачи

имеет место априорная оценка

Отсюда следует, что аддитивная схема (96)-(98) сходится со скоростью в сеточной норме

Перейдем теперь к задаче (96), (97) § 2 для системы уравнений гиперболического типа (см. А. А. Самарский [12]):

Решение этой системы сведем к последовательному от а к решению (с шагом ) более простых уравнений

Аппроксимируя каждое из этих уравнений в обычном смысле, получим аддитивную схему

где Коэффициенты в момент определяется одной из формул (67) или (68),

Второе начальное условие аппроксимируем, полагая

Полученная аддитивная схема, очевидно, обладает суммарной аппроксимацией

Для определения вектора получаем систему уравнений

где выражается через векторы Эта система решается последовательно от и от при помощи обычных формул прогонки.

Меняя ролями и получим вторую схему

В этом случае счет идет от к и от Чередование схем (101) и (102) дает третью схему.

Пользуясь энергетическим методом, по аналогии с предыдущим пунктом, можно получить априорную оценку для погрешности и, использующую свойство суммарной аппроксимации. Из этой оценки следует сходимость аддитивной схемы.

Задачи к главе VII

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление