Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Локально-одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения второго порядка.

Метод суммарной аппроксимации позволяет получить абсолютно устойчивые сходящиеся локально-одномерные схемы для уравнений гиперболического типа (см. А. А. Самарский [10], [12]).

Рассмотрим уравнение

где точка -мерного пространства с координатами Пусть произвольная -мерная область с границей

Требуется найти непрерывное в цилиндре решение уравнения (63), удовлетворяющее краевому условию

и начальным условиям

Как обычно, предполагается, что эта задача имеет единственное решение обладающее всеми требуемыми по ходу изложения производными.

Относительно остаются в силе те же конструктивные предположения, что и в случае параболического уравнения (см. п. 5).

На отрезке построим равномерную сетку с шагом выбирается такая же сетка что и в п. 5.

Если -мерный параллелепипед, то для численного решения задачи (63) — (65) можно построить экономичную факторизованную схему, имеющую точность Такая схема была исследована в § 2.

При построении локально-одномерной схемы поступаем по аналогии с аппроксимируем с шагом последовательно операторы

где удовлетворяют условию

Для аппроксимации производной с шагом используются выражения

где

где

Для аппроксимации на пространственной сетке воспользуемся однородным разностным оператором второго порядка аппроксимации

Коэффициент оператора и правая часть берутся в момент

так что

Напишем теперь локально-одномерные схемы для гиперболических уравнений:

где

дается формулой (67) при и формулой (68) при При получаем трехслойную аддитивную схему, при четырехслойную схему. В этом отличие от параболических уравнений, для которых вид локально-одномерных схем не зависит от числа измерений

Уравнение (69) можно записать в виде

Определение сводится к решению трехточечного уравнения вдоль отрезков, параллельных оси

что можно сделать методом прогонки, пользуясь краевым условием

Первое из начальных условий аппроксимируется точно:

Для вычисления промежуточных значений при при применим следующие уравнения:

если

если

Остановимся более подробно на локально-одномерной схеме для случая двух измерений

Краевые условия имеют вид

Функция находится из уравнения

где - известная правая часть, с краевыми условиями из уравнения

где известна, с краевыми условиями (77). Каждое из уравнений решается методом одномерной прогонки.

Рассмотрим погрешность схемы где решение задачи — решение задачи Подставляя в уравнение (76), получим

где

— погрешность аппроксимации для одного уравнения (66) номера

Погрешность аппроксимации для локально-одномерной схемы (75) — (77) определяется как сумма

Покажем, что схема (76) аппроксимирует задачу (63) — (65) в суммарном смысле, . В самом деле, учитывая, что

получаем

где

Отсюда следует:

Первое слагаемое, в силу уравнения (63), равно нулю:

Поэтому

т. е. схема обладает суммарной аппроксимацией. Рассмотрим теперь сумму

т. е.

Дальнейшие рассуждения, для упрощения изложения, проведем в предположении, что область прямоугольник,

и сетка равномерна по каждому направлению:

В пространстве сеточных функций, заданных на сетке и равных нулю на ее границе введем скалярные произведения

Покажем, что схема (75) — (77) абсолютно устойчива и сходится, по крайней мере, со скоростью

Решение задачи (78) представим в виде где решение задачи (78) с правой частью решение задачи (78) с правой частью

Найдем априорную оценку для учитывающую свойство суммарной аппроксимации (81).

Умножим уравнение (78) для скалярно Учтем, что

Предположим далее, что удовлетворяет условию Липшица по т. е. Тогда можно написать

В результате получаем энергетические неравенства

Складывая эти неравенства, найдем

где

Используем теперь свойство (81) и преобразуем слагаемые содержащие

Подставляя сюда

получим

(см. скан)

Подставим теперь выражение для в формулу для и учтем неравенство

Тогда получим

где

Для решения неравенства (85) применим лемму 6 из гл. VI, § 1, согласно которой из (85) следует оценка

Если существует вторая производная по функции

Таким образом, для справедлива априорная оценка (86). Обратимся теперь к задаче для функции Вместо (83) получим неравенство

где

Для выражения

имеет место оценка

где любое число. Подставим эту оценку в неравенство (87):

На первом слое имеем тождества

Просуммируем (89) по и учтем (90):

Учитывая затем неравенство

применяя лемму 6 из гл. VI, § 1 и полагая получаем

где положительная постоянная, зависящая только от и

Объединяя оценки (86) и (91) для и о, приходим к следующей оценке для

где — зависит только от и

Из этой оценки следует, что локально-одномерная схема (75) — (77) сходится со скоростью если решение имеет непрерывные в производные по до четвертого порядка включительно и производные удовлетворяют условию Липшица по правая часть должна быть дважды дифференцируемой по

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление