Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами.

Укажем, как применяется локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами. При этом достаточно указать лишь изменения в формулах для операторов считая, что рассматривается задача (33). Локально-одномерная схема всегда записывается в виде (37), (38),

1) Линейное уравнение параболического типа. Пусть в задаче (33)

В задаче (37), (38) меняется лишь формула для

Коэффициент выбирается так, чтобы имел второй порядок аппроксимации на регулярном шаблоне,

например, можно взять

Теоремы 2 и 3 сохраняют силу.

2) Квазилинейное уравнение параболического типа. Пусть в задаче (33)

Возможны два способа аппроксимации оператора

Для определения получается нелинейное уравнение, которое решается тем или иным итерационным методом; каждая итерация находится при помощи прогонки.

Для получаем линейные уравнения, решаемые методом прогонки. Что касается устойчивости и сходимости, то при дополнительных предположениях относительно ограниченности производных имеет место равномерная сходимость со скоростью

Локально-одномерные схемы можно применять и в случае третьей краевой задачи. Если, например, область есть прямоугольник со сторонами и 12 (или ступенчатая область), то уравнения (37) пишутся не только во внутренних узлах сетки, но и на соответствующих границах. Так, например, если на стороне прямоугольника задано краевое условие то при уравнение (37)

пишется и при причем в узле полагаем

Этот алгоритм предложен И. В. Фрязиновым [2], который показал, что полученная локально-одномерная схема сходится равномерно со скоростью

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление