Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Устойчивость локально-одномерной схемы.

В гл. IV § 1, п. 5 был доказан принцип максимума для уравнения, которое мы запишем в виде

где узлы связной сетки задана на уравнение пишется в заданные числовые функции точек граница сетки, -окрестность узла

В главе IV рассматривался случай, когда где сетка в области -мерного пространства. Установленный там принцип максимума и вытекающие из него следствия сохраняют, очевидно, силу для уравнения (43). Будем предполагать, что

Обозначим

Принцип максимума для (43) имеет место при

В этом случае для решения однородного уравнения где

справедлива оценка

Если выполнено условие

то для решения уравнения (43) с однородным условием имеет место оценка

Если хотя бы один узел является граничным, то узел назовем приграничным. Обозначим множество приграничных узлов, дополнение до так что Предположим, что

Тогда для решения уравнения (43) верна оценка

Применим неравенства (46) и (50) для оценки решения нашей задачи (37), (38). Для этого запишем разностное уравнение (37) в канонической форме (43). Для удобства изложения введем сетку

содержащую не только узлы сетки но и фиктивные узлы Отнесем формально к момент полагая Пусть

множество внутренних узлов сетки Обозначим через где , узел -мерной сетки

в цилиндре

— граница области , так что Пусть

множество узлов, для которых а есть приграничный по узел сетки дополнение до дополнение до .

Обозначим и запишем уравнение (37) в виде

Окрестность узла состоит из трех точек Если регулярный узел сетки то

Если нерегулярный узел, то

где расстояние между узлами Из (52), (53) и (51) видно, что (при

Пусть или при Если граничный узел, внутренний узел.

то и (51) принимает вид

Отсюда и из (53) следует, что (при )

Если оба узла являются граничными, то

при Если - регулярный приграничный узел, то Таким образом, если обращается в нуль на границе

где одно из чисел

Решение уравнения (51) представим в виде суммы

где у — решение однородного уравнения (51) при — решение неоднородного уравнения (51) при условии Так как условия (44) и (45) выполнены, то

Для дальнейшего нам понадобятся обозначения

Имея в виду, что при при

получаем

Рассматривая вместо сетку

будем иметь

Перейдем теперь к оценке у. Представим сначала в виде где

В соответствии с этим положим

где и — решение уравнения (51) с правой частью решение той же задачи с правой частью Принимая во внимание (55) и (50), сразу получаем оценку для

или

где — одно из чисел (56).

Для оценки запишем разностную схему (37)

где в канонической форме (43) с

В строго внутреннем узле имеем

т. е. . В приграничных узлах, очевидно, Поэтому, в силу (48), верна оценка

или

После суммирования по получаем

Пользуясь неравенством треугольника

и оценками (57) — (59), убеждаемся в том, что верна

Теорема 2. Локально-одномерная схема (37), (38) равномерно метрике С) устойчива по начальным и граничным данным и по правой части, так что для решения задачи (37), (38) при любых справедлива оценка

где — одно из чисел (56).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление