Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в произвольной области.

Пользуясь методом суммарной аппроксимации, нетрудно построить экономичные аддитивные схемы для параболических уравнений в области сложной формы. Мы проведем детальное исследование локально-одномерной схемы для уравнения теплопроводности в -мерной области сложной формы. Пусть точка -мерного евклидова пространства

Рассмотрим в цилиндре следующую задачу для уравнения теплопроводности

Здесь граница области эллиптический оператор второго порядка. Для упрощения изложения считаем, что оператор Лапласа, Предположим, что задача (33) имеет единственное достаточно гладкое решение.

Относительно области конструктивно используются два предположения: 1) пересечение области любой прямой параллельной оси координат может состоять лишь из конечного числа интервалов, 2) возможно построение в области связной сетки описанной в гл. IV, § 1, с шагами Напомним обозначения:

множество приграничных по направлению узлов; — множество граничных по направлению узлов; множество всех приграничных узлов; множество всех граничных узлов; а дополнение (0 до дополнение до

— множество приграничных узлов, нерегулярных по Для разностной аппроксимации оператора в узле х выбираем трехточечный шаблон, состоящийиз точек Разностный оператор имеет вид:

а) В регулярных узлах

б) В нерегулярных узлах

где расстояние от нерегулярного узла до граничного узла или Если то

где расстояние между и расстояние между

В регулярных узлах имеет второй порядок аппроксимации в нерегулярных узлах — первый порядок:

Перейдем к написанию локально-одномерной схемы. Приведем сначала наводящие соображения, в основном повторяющие рассуждения п. 3. На отрезке введем сетку

с шагом Пусть произвольные функции, такие, что

В слое вместо (33) будем решать последовательно уравнения

с начальными условиями

полагая

Краевые условия для очевидно, достаточно задавать не на всей границе а на ее части состоящей из точек пересечения со всевозможными прямыми параллельными и проходящими через любую внутреннюю точку (см. гл. IV, § 1). Узлы лежат на

Если, например, — параллелепипед, то состоит из граней Пусть пересечение По предположению 1) относительно области множество Да состоит из конечного числа отрезков, параллельных с концами на

Заменим каждое из одномерных уравнений теплопроводности (34) двухслойной чисто неявной схемой

с начальными данными

Граничное значение и правую часть можно

выражать через взятые в произвольные моменты и на отрезке

Из пп. 7 и 8 следует, что схемы, получающиеся при различных имеют один и тот же порядок точности. Для определенности полагаем

Значение и будем называть решением разностной задачи при и обозначать Учитывая начальные условия (36), перепишем (35) в виде

Введем безындексные обозначения Тогда локально-одномерная схема может быть записана в виде

Для каждого уравнения номера а мы получаем одномерную первую краевую задачу. Решаются эти задачи последовательно в порядке возрастания а. Для решения каждой из задач

вдоль отрезков, параллельных с концами на применяется алгоритм прогонки. Алгоритм решения задачи (37), (38) похож на все остальные экономичные методы —

последовательно меняются направления прогонки Чтобы найти значения у на шаге по данным на шаге надо поэтапно решить одномерных задач по всем координатным направлениям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление