Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы.

Напомним второй вопрос, который был поставлен в п. 2.

Как доказать сходимость аддитивной схемы?

Мы неоднократно убеждались в том, что из аппроксимации и устойчивости схемы следует ее сходимость.

Для аддитивных схем устойчивость по правой части должна быть такой, чтобы из условия суммарной аппроксимации следовало стремление к нулю решения разностной задачи (с нулевым начальным условием). Такие априорные оценки, ориентированные на использование свойства суммарной аппроксимации, имеют место для аддитивных схем в случае систем параболических и гиперболических уравнений.

Рассмотрим аддитивную схему общего вида в гильбертовом пространстве

Теорема 1. Если положительно определенный постоянный оператор и матрица-оператор неотрицательна, т. е. для любых векторов

то для решения задачи (25) справедлива априорная оценка

Доказательство. Перепишем уравнение (25) в виде

Умножим обе части уравнения (25) скалярно на и просуммируем по а. Учитывая, что

получаем энергетическое тождество

Преобразуем сумму Для этого представим в виде

Тогда

(см. скан)

Отсюда видно, что из суммарной аппроксимации в следует сходимость в из условий

следует, что для всех

Отметим, что оценка (27) получена при весьма слабых ограничениях: оператор В положительно определен и самосопряжен, матрица-оператор -неотрицательна.

Если схема (25) рассматривается в банаховом пространстве то применяется другой метод построения априорных оценок.

Пусть схема (25) устойчива, так что

где некоторые нормы на

Предположим, что можно представить в виде суммы

Положим где определяется из условий

Отсюда следует:

т. е. для всех

Для очевидно, получим уравнение (25) с правой частью

и начальным условием Из (29) следует

Условие суммарной аппроксимации означает, что 1) можно представить в виде (30), 2) при Второе

требование будет выполнено, если при

Проиллюстрируем второй метод исследования сходимости аддитивной схемы (мы будем им пользоваться в п.п. 7, 8) на простом примере.

Пример 1. Пусть дана задача Коши

где числа.

Напишем простейшую аддитивную схему, соответствующую задаче (31). Для этого заменим (31) системой уравнений

Аддитивная схема имеет вид

Подставляя сюда получим

Найдем погрешность аппроксимации для каждой из схем. Представим тогда для получим условия

где погрешность аппроксимации (на решении и) уравнением номера а исходного уравнения (31):

Здесь

Отсюда видно, что

Положим где

так что для всех

Для у получаем условия

Так как , то

Замечая, что получаем т. е. аддитивная схема (32) имеет первый порядок точности при любых

Подчеркнем, что при изучении сходимости аддитивных схем мы предполагаем (как и всюду в теории разностных схем)

единственность, существование и достаточную гладкость решения исходной многомерной задачи.

Пусть, например, и — решение задачи Коши (14), решение аддитивной схемы, где пространство сеточных функций. Следуя § 1 гл. I и § 1 гл. V, мы должны оценить разность где линейный оператор из точнее, величину где некоторая норма на Эта оценка производится непосредственно: пишется задача для вычисляются погрешности аппроксимации и используется один из указанных в этом пункте методов оценки

Возможен другой способ оценки Пусть решение составной задачи Коши (18) (или (16)), В силу неравенства треугольника

Оценка близости сводится к оценке близости При оценке требуется информация о гладкости и, при оценке гладкости Таким образом, при этом способе оценки порядка точности аддитивной схемы надо сначала установить (либо предположить) гладкость нужного порядка функции Это требует дополнительного исследования дифференциальных свойств решения составной задачи Коши и является, вообще говоря, трудной задачей.

В случае А из п. 3, когда попарно перестановочны, и поэтому

т. е. сходимость аддитивной схемы следует из устойчивости и аппроксимации для каждой из промежуточных схем.

В п. 3 было показано, что составная задача Коши также обладает свойством суммарной аппроксимации. Поэтому при оценке работают те же методы, что и при оценке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление