Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Методы построения аддитивных схем.

Пусть дано многомерное уравнение

где линейный дифференциальный оператор, действующий на как функцию -точки -мерной области с границей на которой заданы некоторые граничные условия.

Для построения экономичных методов основную роль играет возможность представления оператора в виде суммы операторов более простой структуры,

Естественно возникают вопросы:

1) Как построить экономичную аддитивную схему для уравнения

2) Как оценить порядок точности этой схемы?

Попытаемся ответить сначала на первый вопрос Самарский [16]).

Укажем общий подход, позволяющий получать схемы, обладающие суммарной аппроксимацией.

Уравнение (7) или

перепишем в виде

где произвольные функции (из того же класса гладкости, что и удовлетворяющие условию

Введем на отрезке сетку

с шагом х. Каждый полуинтервал разобьем на частей, введя точки

Обозначим полуинтервал и будем последовательно, начиная с решать уравнения

полагая

Каждое из уравнений (9) номера а заменим разностной схемой

(аппроксимируя и соответствующими разностными выражениями). В простейшем случае (11) есть двухслойная схема, связывающая значения

Схема (11) аппроксимирует уравнение (9) номера а в обычном смысле, так что, например,

стремится к нулю (в некоторой норме) при стремлении к нулю шагов сетки со Здесь «проекция» и на сетку; для упрощения записи индекс в дальнейшем опускаем.

Система разностных уравнений (11) является аддитивной схемой для задачи (7). В самом деле, пусть погрешность аппроксимации на решении уравнения для одной схемы (11) номера а. Величина определяется как невязка

Представляя в виде суммы

и учитывая, что получим

а при где некоторая норма в пространстве сеточных функций, заданных на Отсюда следует, что

т. е. аддитивная схема (11) обладает суммарной аппроксимацией, если каждая из схем (11) номера а аппроксимирует в обычном смысле соответствующее уравнение (9).

Этот факт объясняется тем, что система дифференциальных уравнений (9) аппроксимирует многомерное уравнение (7), (8) или в суммарном (интегральном) смысле.

В самом деле, погрешность аппроксимации для уравнения номера а на решении уравнения есть невязка

Так как при то где Отсюда следует, что

т. е. аддитивная система дифференциальных уравнений (9) аппроксимирует уравнение с первым порядком по х.

Суммарная погрешность аппроксимации для системы дифференциальных уравнений (9), (10) может быть определена также следующим образом:

Нетрудно заметить, что при таком определении в приведенных выше рассуждениях изменится лишь последняя формула:

Из устойчивости системы (9) и суммарной аппроксимации следует сходимость решения задачи (9), (10) к

Важно подчеркнуть, что суммарная аппроксимация для (9) и на достаточно гладких решениях задачи (7), (8) гарантируется выполнением двух условий:

1) оператор есть сумма

2) правая часть есть сумма

Эти условия, очевидно, можно ослабить, потребовав, чтобы

Условие (8) используется при построении экономичных методов всеми авторами.

Вопрос о близости решений задач (9), (10) и (7), (8) изучался Н. Н. Яненко [5]. Рассматривалась задача Коши в полупространстве для системы уравнений

где векторные функции векторного аргумента, линейный дифференциальный оператор, коэффициенты которого зависят от

Предполагалось, что оператор представим в виде (8). Задача Коши заменялась составной задачей Коши (9), (10) в предположении, что Используя свойство суммарной аппроксимации (вытекающее из условия (8)), которое интерпретировалось как некоторое свойство слабой аппроксимации коэффициентов дифференциального уравнения, Н. Н. Яненко [5] доказал, что

(при условии достаточной гладкости

Мы показали здесь один из простых способов получения аддитивных схем. Его удобство в том, что сначала многомерная задача заменяется цепочкой более простых задач для дифференциальных уравнений; при этом легко выясняется характер краевых условий для вид правой части Если содержит лишь производные по переменному то такой оператор называют одномерным, а соответствующие уравнения одномерными уравнениями. В этом случае говорят, что решение многомерной задачи (7) сводится к решению последовательности одномерных задач (9).

Прежде чем переходить к изучению сходимости и точности аддитивных схем, остановимся на вопросе о близости решений задач (7) и (9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление