Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Экономичные схемы для систем уравнений параболического и гиперболического типов.

Пусть

-мерный параллелепипед,

Пусть клеточная матрица с клетками удовлетворяющая условию симметрии

и условию положительной определенности

где положительные постоянные, произвольный вещественный вектор. Положительная определенность матрицы является условием сильной эллиптичности оператора

где вектор размерности т. е. условием выполнения неравенства

где

— произвольная достаточно гладкая функция, равная нулю на границе

Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти непрерывное в решение системы уравнений параболического типа

Пусть сетка в — сетка на отрезке

Оператор аппроксимируем разностным оператором (см. гл. IV)

и обозначим

При получаем

Введем пространство множество сеточных вектор-функций, заданных на он и равных нулю на границе Скалярное произведение в определяется так:

В силу (79) оператор является самосопряженным оператором, так что Из (80) следуют неравенства

где

В качестве регуляризатора выберем оператор

где числовой параметр, который будет выбран из соображений устойчивости.

Напишем сначала двухслойную экономичную схему. Исходная схема имеет вид

где

Заменяя факторизованным оператором

получаем экономичную факторизованную схему

Для отыскания вектор-функции можно, например, воспользоваться таким алгоритмом:

Схема (89) абсолютно устойчива при и сходится со скоростью

Второй порядок точности по имеет трехслойная схема

Перепишем ее в виде

и заменим оператор факторизованным оператором

Тогда получим факторизованную экономичную схему

Запишем ее в каноническом виде

Для определения из (92) воспользуемся алгоритмом

Компоненты находятся независимо. Исходная схема (90) устойчива, если положить

Операторы попарно перестановочны и положительны, поэтому и регуляризатор схемы (92), равный Отсюда следует, что схема (92) в абсолютно устойчива.

Пусть у — решение задачи (92), (93), и — решение исходной задачи (83), (84). Подставляя в (92), получим для погрешности условия

где

погрешность аппроксимации исходной схемы (90),

Так как то для схемы (94) верны теоремы 5 и 8 из гл. VI, § 2. Погрешность аппроксимации второго начального условия оценивается в норме где

Из (95) видно, что Требования гладкости, при которых возрастают с ростом числа измерений Эти требования можно ослабить, используя, например, при выводе априорных оценок для уравнения (94) с правой частью

следующие неравенства:

Два последних слагаемых в этом неравенстве есть величины они дают вклад в оценку погрешности

Таким образом, схема (92), (93) сходится в со скоростью

Перейдем теперь к системе уравнений гиперболического типа. Требуется найти непрерывное в цилиндре решение системы уравнений

удовлетворяющее дополнительным условиям

Оператор определяется формулой (81).

Система уравнений теории упругости

где коэффициенты Ламэ, вектор-функция размерности очевидно, является частным случаем системы (96) при и

Условие (79) выполняется автоматически. Условие (80) также выполнено при

(см. скан)

Можно показать, что эта схема абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации, Отсюда следует ее сходимость со скоростью

Отыскание вектор-функции сводится к последовательному решению методом прогонки трехточечных уравнений вида

Воспользуемся, например, следующим алгоритмом

Для функций ставятся при следующие краевые условия:

Так как операторы имеют диагональную матрицу коэффициентов с диагональными клетками, то компоненты вектора определяются независимо.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление