Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Метод аппроксимации краевых и начальных условий.

Из предыдущего пункта следует, что точность схемы зависит от порядка аппроксимации на решении исходной задачи не только уравнения, но и дополнительных условий (краевых или начальных)

В этом пункте мы рассмотрим ряд примеров повышения порядка аппроксимации краевых и начальных условий без увеличения числа узлов сетки, участвующих в аппроксимации.

Пример 1. Третья краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

Выбрав равномерную сетку запишем разностное уравнение в виде

где если непрерывная функция. Краевое условие при удовлетворяется точно

Первую производную заменим правой разностной производной и краевое условие при напишем в виде

причем оператор определен на двухточечном шаблоне Подставляя сюда где решение задачи (29), получим для погрешности условие

где погрешность аппроксимации для краевого условия на решении, равная

Разлагая в окрестности узла по формуле Тейлора:

находим

так как Отсюда видно, что Подправим условие (32) так, чтобы порядок аппроксимации составлял Используем для этого тот факт, что есть решение исходной задачи (29). Выразим из дифференциального уравнения

Подставляя (34) в (33), получим

т. е. выражение в левой части (35) аппроксимирует производную в точке на решении уравнения со вторым порядком.

Отсюда и из (32) следует, что краевое условие

имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (29).

Отметим, что нам удалось повысить порядок аппроксимации, не увеличивая числа узлов сетки, которые использовались для аппроксимации краевого условия.

Пример 2. Третья краевая задача для уравнения теплопроводности:

На сетке описанной в п. 1, напишем явную схему

где

Эта схема имеет аппроксимацию Построим разностную аппроксимацию того же порядка для краевого условия при Для этого рассмотрим

Пользуясь уравнением теплопроводности при найдем следует, что

т. е. выражение, стоящее слева, аппроксимирует производную при с точностью

Заменяя разностной производной получим разностное краевое условие при

Оно имеет аппроксимацию на решении задачи (37). В случае неявной схемы

вместо (39) следует взять условие

Пример 3. Гиперболическое уравнение второго порядка:

Очевидно, что при аппроксимации задачи (41) особое внимание следует обратить на запись в разностном виде начального условия для производной

Пусть дана равномерная по сетка с шагами (см. п. 1).

Если мы воспользуемся простейшей аппроксимацией

то погрешность аппроксимации будет величиной Представим в виде

Обратимся теперь к исходному дифференциальному уравнению и найдем

так как Отсюда следует, что

Поэтому разностное начальное условие

аппроксимирует на решении задачи (41) условие со вторым порядком по

Условие и краевые условия в данном случае аппроксимируются точно. В качестве разностной аппроксимации уравнения можно взять, например, одну из схем, рассмотренных в п. 2.

Из предыдущего изложения следует, что при повышении порядка аппроксимации краевых и начальных условий мы существенно использовали существование и непрерывность производных, входящих в уравнение, на границе области (при или а также существование и ограниченность третьих производных решения.

Пример 4. Трехслойная разностная схема для уравнения теплопроводности. Рассмотрим первую краевую задачу

Для решения уравнения теплопроводности (42) часто применяются гак называемые трехслойные схемы, использующие значения сеточной функции на трех временных слоях

Например, трехслойная симметричная схема на равномерной сетке с шагами выглядит следующим образом:

где — вещественный параметр,

Так как центральная разностная производная по аппроксимирует со вторым порядком по то схема (43) аппроксимирует уравнение (42) с Нетрудно, однако, заметить, что задача (43) недоопределена. Для применения трехслойной схемы требуется задать еще одно начальное условие, например, задать на первом слое. Естественно потребовать, чтобы введение этого условия сохраняло аппроксимацию

Можно указать два способа задания Первый способ состоит в том, что мы делаем первый шаг по двухслойной схеме

обеспечивающей определение с точностью Второй способ состоит в том, что мы ищем значение в виде

и подбираем так, чтобы погрешность не превосходила Подставим в формулу

значение исходя из дифференциального уравнения

Тогда получим

и, следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление