Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Трехслойные факторизованные схемы.

Рассмотрим экономичные трехслойные схемы. Пусть дана схема

Разрешая ее относительно находим

Отсюда видно, что для экономичности трехслойной схемы надо, чтобы оператор на верхнем слое был факторизован. Рассмотрим в качестве исходной схемы схему с весами

Запишем ее в каноническом виде (см. гл. VI, § 2):

и найдем оператор Пусть Заменим факторизованным оператором

Поскольку имеется одно условие для двух операторов то можно построить ряд факторизованных схем. Перепишем (48) в виде

Заменим факторизованным оператором и приведем полученную схему к каноническому виду, учитывая при этом, что

В результате получим

так что

Для определения при заданных можно воспользоваться следующим алгоритмом

Вопрос о краевых условиях для решается так же, как и в случае двухслойной факторизованной схемы.

Для исследования устойчивости факторизованной схемы (49) надо воспользоваться общими теоремами из гл. VI, § 2. Достаточными условиями устойчивости являются условия

Если то исходная схема устойчива, так как

В силу перестановочности т.е. Отсюда и из устойчивости исходной схемы следует устойчивость факторизованной схемы (49).

Мы рассмотрели частный случай, когда Укажем общий метод построения трехслойных экономичных факторизованных схем, основанный на принципе регуляризации разностных схем (см. гл. VI, § 2, п. 9). Рассмотрим некоторую исходную разностную схему

(значение при выбирается так, чтобы обеспечить второй по порядок аппроксимации). Оператор выбирается так, чтобы схема (50) была устойчивой. Запишем исходную схему в виде

Пусть есть сумма экономичных операторов, Заменим в (51) факторизованным оператором

где при при и вместо (51) рассмотрим факторизованную схему

Приведем (52) к каноническому виду

где

Пусть - погрешность аппроксимации (в классе решений непрерывной задачи) для исходной схемы (50), -для факторизованной схемы (53). Нетрудно заметить, что

Если где некоторая сеточная норма (фигурирующая в теоремах об устойчивости), то

и при переходе от исходной схемы к экономичной факторизованной схеме (52) погрешность аппроксимации меняется на величину Таким образом, указанный процесс позволяет получать экономичные факторизованные схемы с сохранением второго порядка точности по счет, вообще говоря, некоторого повышения требования гладкости решения и).

Чтобы исследовать устойчивость (50) и (53), нужно рассматривать операторы как линейные операторы из в (это значит, например, для (26), что краевые условия на однородны).

Пусть выполнены условия

Тогда исходная схема (50) устойчива при

В случае переменного требуется, кроме того, чтобы был липшиц-непрерывен по Оператор мы будем выбирать постоянным.

Если операторы попарно перестановочны, то из устойчивости исходной схемы следует устойчивость факторизованной схемы (53), так как т. е.

Выбор регуляризатора как для двухслойных, так и для трехслойных схем проводится по одному и тому же принципу. Важно отметить, что одним и тем же регуляризатором можно пользоваться для различных операторов

Рассмотрим задачу (12) с операторами (23) (пример 1). В этом случае

Оператор липшиц-непрерывен, если

При решении системы разностных уравнений (52) можно воспользоваться алгоритмом

где

Для задачи (26) оператор аппроксимируем разностным оператором (см. гл. IV, § 2):

Операторы те же, что и для предыдущей задачи,

Липшиц-непрерывность оператора обеспечивается требованиями

где

Аналогично проводится построение факторизованной схемы для исходной схемы вида

Рассмотрим конкретный пример.

Для уравнения гиперболического типа в прямоугольнике :

выберем исходную схему с весами

Записываем эту схему в каноническом виде

и переходим от нее к экономичной факторизованной схеме, например,

Если исходную схему записать иначе

то после факторизации получим экономичную факторизованную схему

или

Обе полученные факторизованные схемы (57) и (58) имеют второй порядок точности по х при любом а и устойчивы при

Нетрудно построить экономичные факторизованные схемы для случая, когда определяется формулой (23). В этом случае в качестве исходной выбираем схему

где

Параметр а выберем так, чтобы выполнялось условие устойчивости при любом где множество функций, заданных на и равных нулю на границе сетки Для этого, очевидно, достаточно положить

Заменяя оператор факторизованным оператором где получаем экономичную схему

где

Эта схема абсолютно устойчива и имеет второй порядок точности по

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление