Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Схемы расщепления как факторизованные схемы.

Рассмотрим схему с весами для однородного уравнения теплопроводности

Н. Н. Яненко [1] предложил аппроксимировать ее системой одномерных схем с весами

где промежуточные значения. Систему уравнений (34) можно записать в виде

где Полагая решаем уравнение и находим Полагая затем определим наконец,

Для выяснения вопроса об устойчивости и аппроксимации был предложен переход от (35) к схеме «в целых шагах»,

связывающей и Исключая из (35), получим факторизованную схему

Она не совпадает с исходной схемой (33). Заметим, что исключение возможно только при попарной перестановочности операторов В самом деле, пусть и

Действуя на первое уравнение оператором а на второе — оператором получим

Отсюда видно, что член с равен нулю, если т. е. Тогда получим

Однако эквивалентность (35) и (36) имеет место не всегда. Это связано с тем, что для у надо для эквивалентности ставить граничное условие специального типа.

Поясним это на примере. Рассмотрим задачу (12) с Напомним, что область -прямоугольник. Схемы (35) и (36) эквивалентны, если уравнение

выполняется не только при но и на границе, при Определить из (40) можно только при достаточно малом Кроме того, существует вторая трудность: как определить правые части в уравнениях

чтобы эти уравнения были эквивалентны уравнению

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение. Исключая из (41) у, получим

Требование Вбудет выполнено, если удовлетворяет уравнению При вместо (40) должно выполняться условие а при условие Полагая при получаем краевые условия для

В результате мы получаем эквивалентную (42) систему одномерных схем:

Её можно записать также в виде

Обращаясь к факторизованной схеме (39) и приводя ее к каноническому виду, замечаем, что при она совпадает с факторизованной схемой для продольно-поперечной схемы, рассмотренной в § 1, и потому имеет точность Если вычислять по формулам то при получаем схему при условии, что определяется по формуле (27).

Подводя итоги, следует отметить, что факторизованные схемы применимы лишь для областей специального типа, точнее, для прямоугольников и для параллелепипедов. Исключение представляет лишь случай где треугольные операторы. Однако, при этом понижается порядок аппроксимации (которая имеет место лишь при условии

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление