Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Экономичные факторизованные схемы

1. Схемы с факторизованным оператором.

Рассмотрим двухслойную разностную схему

Пусть известно значение на слое, требуется найти Для него получаем уравнение

где известная правая часть. Пусть для вычисления затрачивается число действий, пропорциональное числу узлов сетки (это имеет место для всех разностных схем с шаблоном, не зависящим от сетки Из (2) видно, что устойчивая схема (1) экономична, если для решения уравнения (2) затрачивается число действий

Пусть «экономичные» операторы, т. е. такие операторы, что для вычисления решения уравнения

требуется действий. Тогда схема (1) с факторизованным оператором В вида

будет также экономичной, так как для решения уравнения (2) с оператором (4) потребуется действий. В самом деле, решение уравнения

может быть найдено в результате последовательного решения уравнений вида (3), точнее

так что Здесь промежуточные значения.

Из предыдущего следует, что устойчивая схема (1) с факторизованным оператором В, являющимся произведением конечного числа «экономичных» операторов является экономичной. Схемы с факторизованным оператором В будем называть факторизованными схемами.

В § 1 было показано, что неявная экономичная схема переменных направлений (продольно-поперечная схема) эквивалентна факторизованной схеме с оператором

Рассматривались (см. В. К. Саульев [1]) также факторизованные схемы с

где «треугольные» операторы (соответствующие им матрицы являются треугольными, так называемая, «явная схема переменных направлений»). Для решения уравнения (3) в этом случае получаются формулы явного («бегущего») счета. Заметим, что не являются самосопряженными, а сопряжены друг другу.

Часто используются «одномерные» разностные операторы вида где разностная аппроксимация дифференциального оператора содержащего производные только по одному аргументу Так, например, если то есть трехточечный оператор и уравнение (3) решается методом прогонки.

Отметим, что для факторизованных схем (с одномерными в некотором специальном смысле операторами используется также название «схемы с расщепляющимся оператором» (см. Е. Г. Дьяконов [3]).

Одну и ту же факторизованную схему можно свести к последовательности простых схем несколькими способами. Укажем еще один способ. Из (1) найдем

где есть решение уравнения

Для определения можно воспользоваться системой уравнений

полагая затем

Интересно отметить, что первые экономичные схемы (см. Писмен, Рэкфорд [1], Дуглас [1], Дуглас, Рэкфорд [1]) составлялись так, чтобы можно было легко исключить промежуточные значения; это приводило к факторизованной схеме «в целых шагах», связывающей значения и

2. Краевые условия.

Требования устойчивости и аппроксимации предъявляются к факторизованной схеме (1). Уравнения (6) или (10), (11) можно трактовать как вычислительный алгоритм для факторизованной схемы (1). Такая эквивалентность, как было отмечено в работе . Дьяконова [3], имеет место лишь при согласованном задании краевых условий.

Поясним это на примере. Пусть требуется решить первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в прямоугольнике с границей Г:

Пусть прямоугольная сетка в с шагами

Напишем факторизованную схему (1)

где граница сетки Для решения задачи (13) при переходе со слоя на слой воспользуемся алгоритмом (6):

с краевыми условиями

Так как оператор определен на (включая границу то уравнение должно удовлетворяться не только при но и на границе при Поскольку известно, то отсюда следует, что

Если при определяется по этой формуле, то задачи (13) и (14), (15) эквивалентны, в чем легко убедиться исключением из (14). Для второго алгоритма

краевые условия задаются так

(т. е. на если не зависит от

Отметим, что при записи схемы (1) в матричной (операторной) форме краевые условия можно считать однородными, изменяя соответствующим образом правую часть в приграничных узлах. Для факторизованной схемы получим также однородные краевые условия при однако для сохранения порядка аппроксимации в правую часть факторизованной схемы в приграничных узлах при надо внести поправки

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление