Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Одним из важных достижений в вычислительной математике является разработка экономичных разностных методов для решения многомерных (с несколькими пространственными переменными уравнений в частных производных. В настоящее время имеется большое число экономичных схем для многомерных уравнений параболического, гиперболического и глиптического типов.

Экономичным методам посвящены работы В. Б. Андреева [1]-[6], Бейкера и Олифанта [1], К. А. Багрнновского и С. К. Годунова [1], Вашпресса [3], Гана [1], Е. Г. Дьяконова [1]-[8], Дугласа [1], [4], Дугласа и Гана [2], А. Н. Коновалова [2]-[5], Г. И. Марчука и Н. Н. Яненко [1], Писмена и Рэкфорда [1], А. А. Самарского [4]-[16], [19], В. К. Саульева [1], И. В. Фрязинова [2]-[6], Хаббарда [1], [2], Н. Н. Яненко [1]-[7] и др.

Мы суммируем результаты этих работ, проводя изложение с единой точки зрения и опираясь на общую теорию устойчивости, изложенную в гл. VI. Основное внимание будет уделено принципиальным вопросам теории экономичных разностных схем.

§ 1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) для уравнения теплопроводности

1. Об экономичных схемах.

Выясним на простейших примерах предпосылки к написанию экономичных разностных схем, Рассмотрим -мерное уравнение теплопроводности:

Пусть -мерный куб, — кубическая сетка с шагом по всем сетка с шагом на отрезке

Оператор аппроксимируем разностным оператором так что Напишем двухслойную схему с весами

Схема (2), как было показано в гл, VI, § 1, устойчива по начальным данным при

Полагая получим явную схему

устойчивую при условии

Если (1) — уравнение с переменными коэффициентами, т. е.

то

и явная схема (3) устойчива при

Отсюда видно, что допустимый шаг х для явной схемы надо уменьшать с ростом числа измерений и ростом максимума коэффициента теплопроводности. Последнее требование является особенно жестким в случае задач с сильно меняющимися коэффициентами. По этой причине использование явных схем для решения не только многомерных, но и одномерных задач, часто оказывается нецелесообразным. С другой стороны, явная схема обладает тем достоинством, что решение на новом слое находится по явной формуле (3) и при этом в каждом узле сетки затрачивается конечное число действий, так что общее число арифметических операций при переходе со слоя на слой пропорционально числу узлов сетки со (есть величина

Рассмотрим теперь чисто неявную схему с Она устойчива при любых Для определения у получаем задачу

Для решения этой системы уравнений, например, методом исключения Гаусса требуется затратить действий (если учесть при этом специальный вид матрицы

Итак, явная схема требует небольшого числа действий, но ее устойчивость имеет место при достаточно малом неявная схема безусловно устойчива, но она требует большого числа арифметических действий.

Возникает вопрос: можно ли построить схему, сочетающую лучшие качества явной и неявной схем, т. е.

1) безусловно устойчивую (как неявная схема), 2) требующую для перехода со слоя на слой затраты (как и для явной схемы) числа арифметических действий пропорционального числу узлов сетки так что

Такие схемы принято называть экономичными.

Приведем один пример для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, показывающий, что существует неявная схема, требующая меньшего числа действий (более экономичная), чем явная схема.

Пример Самарский [9]). Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где вектор, -матрица. Предполагаем, что А симметрична и положительно определена. Явная схема при переходе со слоя на слой требует арифметических действий.

Пусть нижняя, верхняя треугольные матрицы, причем Обе эти матрицы (операторы) положительно определены в смысле скалярного произведения так как и Рассмотрим схему

Для определения надо обратить треугольные матрицы

Нетрудно показать, что написанная схема абсолютно (при любых устойчива. Исключим из (4) и Вычитая (5) из (4), найдем

После подстановки этого выражения в (5), получим схему

оператор которой

есть произведение двух сопряженных друг другу «треугольных» операторов (В — факторизованный оператор), так как

Очевидно, что В — самосопряженный оператор. Остается проверить выполнение достаточного условия устойчивости:

так как Схема (6) абсолютно устойчива. Она имеет, очевидно, второй порядок точности.

Пусть треугольные матрицы, отличающиеся от только тем, что элементы на главной диагонали заменены нулями. Будем запоминать при решении уравнения (4) вектор а при решении уравнения -вектор Тогда для схемы (4), (5) число действий, затраченное при переходе от слоя к слою равно в то время, как для явной схемы оно равно т. е. при

2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная схема).

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности

Область прямоугольник со сторонами граница

В построим равномерную по сетку с шагами Пусть граница сеточной области содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, Оператор заменим разностным оператором

Напомним, что в случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида

которая решается стандартным методом прогонки с затратой числа действий, пропорционального числу узлов сетки

Обратимся к нашей двумерной задаче в прямоугольнике. Сетку можно представит, как совокупность узлов, расположенных на строках или как совокупность узлов, расположенных на столбцах Всего имеется столбцов и строк. Число узлов в каждой строке равно а в каждом столбце имеется узлов.

Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (8) методом прогонки при фиксированном то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т. е. во всех узлах сетки, понадобится число арифметических действий, пропорциональное числу узлов двумерной сетки. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (8) вдоль строк и вдоль столбцов.

Весьма четко эту алгоритмическую идею выражает неявная схема переменных направлений (продольно-поперечная схема), предложенная Писменом и Рекфордом [1] и Дугласом [1] в 1955 году. Наряду с основными значениями искомой сеточной функции т. е. с вводится промежуточное значение которое можно формально рассматривать как значение у при Переход от слоя к слою совершается в два этапа с шагами

Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах сетки и для всех Первая схема неявна по направлению и явна по вторая схема явна по и неявна по . К уравнениям (9), (10) надо добавить начальные условия

и разностные краевые условия, например, в виде

где

Смысл краевого условия (12) ясен, а условие (13), определяющее граничное значение у, будет пояснено ниже. Отметим, что это условие было указано в более поздних работах (см., например, С. А. Кряквина [1]).

Таким образом, разностная краевая задача соответствующая задаче (7), поставлена.

Остановимся на методе решения этой задачи. Перепишем (9) и (10) в виде

Условимся о следующих обозначениях:

при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то мы его не пишем. Тогда (15) можно записать в виде (8),

Пусть задано Тогда вычисляем затем методом прогонки вдоль строк решаем задачу (16) и определим у во всех узлах сетки после чего вычисляем и решаем задачу (17) вдоль столбцов определяя При переходе от слоя к слою процедура счета повторяется, т. е. происходит все время чередование направлений.

3. Устойчивость.

Для исследования устойчивости схемы (9) — (14) проведем исключение промежуточного значения у. Вычитая из (9) уравнение (10), находим

Подставим (18) в (9):

Учитывая, что преобразуем (19) к каноническому виду

Из предыдущих рассуждений ясно, что формула (18) должна выполняться и при (иначе значение не определено при Так как при то из (18) следует

что совпадает с краевым условием (13), (14). Тем самым доказано, что решение задачи (9) — (14) удовлетворяет уравнению (20) при дополнительных условиях

С другой стороны, решение задачи (20), (21) является также решением задачи самом деле, введем у по формуле (18), найдем из (18)

и подставим это выражение в (20); после несложных преобразований получим уравнение (9). Из него и из (18) следует (10). Тем самым доказана эквивалентность задач и (20), (21). Она имеет место при согласованном задании граничных значений у по формулам (13), (14), Исследование схемы (9) — (14) можно заменить исследованием схемы (20), (21) «в целых шагах».

Применим общую теорию устойчивости двухслойных схем. Краевые условия предполагаются однородными, рассматривается задача

Введем пространство сеточных функций, заданных на и обращающихся в нуль на со скалярным произведением

и нормой II Будем обозначать Оператор А самосопряжен и положителен в

Норма в энергетическом пространстве имеет вид

или

Рассматривая как абстрактную функцию в со значениями в запишем схему (22) в виде

где

Операторы самосопряженные, положительные и перестановочные (в силу того, что исходная область — прямоугольник). Поэтому и Из (24) видно, что

т. е. схема (24) устойчива в Действительно

Из условия (25) следует, что для схемы (24) верна теорема 8 из гл. VI, § 1 при в силу которой решение задачи (22) удовлетворяет неравенству

Нетрудно получить априорную оценку

В самом деле, применим к обеим частям уравнения (24) оператор

Так как перестановочные и самосопряженные операторы, то Поэтому, в силу теоремы 10 из гл. VI, § 1 верна оценка (27). Таким образом, справедлива

Теорема 1. Схема (22) устойчива по начальным данным и по правой части. Для решения задачи (22) верны априорные оценки (26), (27).

4. Сходимость и точность.

Изучение сходимости и точности схемы (9) — (14), в силу ее эквивалентности схеме (20), (21), будем проводить для задачи (20), (21). Пусть решение задачи (7), решение задачи (9) — (14) и (20), (21). Подставляя в (20), получим для погрешности схемы (20), (21) задачу

где

погрешность аппроксимации на решении, равная

Отсюда видно, что

если имеет ограниченные в , производные

В самом деле, где ограничено,

Так как для задачи (29) справедлива оценка (26) при то имеет место

Теорема 2. Если выполнены условия (31), то схема (20), (21) сходится в сеточной норме (23) со скоростью

5. Схема для уравнения с переменными коэффициентами.

Напишем схему переменных направлений для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

Все уравнения (9) — (14) записываются без изменения, меняется лишь формула для

где например, определяется по формуле или что обеспечивает второй порядок аппроксимации для

Все рассуждения, показывающие эквивалентность схем (9) — (14) и (20), (21), и в данном случае сохраняют силу. Схема (20) имеет на решении аппроксимацию если, кроме условий (31), выполнены очевидные требования гладкости по Отличие от случая постоянных коэффициентов обнаруживается при изучении устойчивости схемы (20). Операторы положительные и самосопряженные, но не перестановочные. Поэтому положительность ниоткуда не следует. Вместо удается доказать, что

где с 1 зависит от максимума производных Для решения задачи (20), (21) с однородными краевыми условиями при достаточно малом где справедлива оценка

где

Оценки такого типа можно найти, например, в работе Е. Г. Дьяконова [4]. Из (34), очевидно, следует сходимость схемы со скоростью Заметим, что требование достаточной малости шага по времени при котором верна оценка (34), является весьма жестким, так как в случае сильно меняющихся по коэффициентов величина то может оказаться столь малой, что условие не выполняется при практически допустимых значениях обеспечивающих требуемую точность решения задачи. Оказывается, однако, что требование малости связано с методом исследования устойчивости. Ниже будет показано, что схема (9), (10) в случае не зависящих от коэффициентов абсолютно устойчива (при любых в другой норме. Если зависят от то этим свойством абсолютной устойчивости обладает

несколько измененная схема

при однородных краевых условиях

Рассмотрим операторно-разностный аналог задачи (37):

где линейные операторы, заданные на Н. Пусть скалярное произведение и норма в Будем предполагать, что неотрицательные (несамосопряженные, вообще говоря) операторы. Лемма 1. Если линейный оператор в то

Действительно,

откуда и следует (39). Перепишем (38) в виде

Воспользуемся неравенством треугольника и леммой 1:

Отсюда находим

где

Суммирование по дает

Нетрудно убедиться в том, что априорная оценка (41) сохраняет силу, если норму заменить нормой где

Тем самым доказана

Теорема 3. Схема (37) абсолютно устойчива (при любых и для нее верна оценка (41) с в которой норма дается формулой (40) и

Однако априорная оценка (41) сама по себе не позволяет доказать сходимость схемы (37) со скоростью Этот вопрос будет рассмотрен в § 3. Отметим, что оценка (41) верна и в том случае, когда есть ступенчатая область сторонами, параллельными осям координат).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление