Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Классы устойчивых трехслойных схем

1. Постановка задачи.

В этом параграфе будут получены достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных схем. Мы пользуемся канонической формой трехслойной схемы

Здесь произвольные заданные векторы из заданная произвольная абстрактная функция со значениями в линейные операторы на . Зависимость от явно не указываем. Напомним обозначения

По аналогии с § 1 решение задачи (1) можно представить в виде суммы где у — решение однородного уравнения

а у — решение неоднородного уравнения с однородными начальными данными

Перепишем (1) в виде

вообще говоря, переменные, т. е. зависят от Отсюда видно, что задача (1) разрешима, если существует оператор В дальнейшем будем всюду считать, что это условие выполнено. Более того, будем предполагать, что

При изучении устойчивости трехслойной схемы будем пользоваться функционалом (составной нормой) вида

где некоторые нормы на линейной системе , Под понимается упорядоченная пара векторов так что если а — число.

Нетрудно видеть, что функционал (4) удовлетворяет всем аксиомам нормы, а именно:

только при Определим теперь понятие устойчивости для (1). Трехслойная схема (1) называется устойчивой, если существует норма (4) и при всех достаточно малых можно указать такие положительные постоянные не зависящие от и выбора любых и всех для решения задачи (1) справедлива оценка

или оценка

где некоторая норма на линейной системе и определяются по формуле вида (4), так что

некоторые нормы на .

Если постоянные операторы, то обычно совпадают.

В общем случае зависят от так что надо писать вместо вместо

Как будет показано ниже, нормы являются энергетическими нормами, построенными на операторах

Поэтому будем предполагать, что операторы являются (если — гильбертово пространство)

2. Основное энергетическое тождество.

Перейдем к выводу энергетического тождества для трехслойной схемы (1), справедливого для переменных операторов и используемого при получении априорных оценок, выражающих устойчивость схемы по начальным данным и по правой части. Учитывая, что

перепишем (1) в виде

где

Умножим скалярно на :

Пусть самосопряженные операторы. Тогда

В силу леммы 1 из § 1 имеем

Прибавим и вычтем справа в (14):

Лемма 1. Пусть самосопряженный оператор. Тогда

для любых векторов из

Доказательство. Так как то и

что и требовалось доказать.

Полагая в преобразуем (15):

Подставим теперь (17) и (13) в (12) и учтем, что

Тогда получим основное энергетическое тождество для трехслойной схемы (1):

При его выводе мы использовали лишь предположение (9) о самосопряженности

3. Устойчивость по начальным данным.

Напомним определение устойчивости по начальным данным и по правой части.

Схема (1) устойчива по начальным данным, если для задачи (1а) справедлива априорная оценка

Схема (1) устойчива по правой части, если для задачи (16) имеет место оценка

или оценка

Пользуясь неравенством треугольника, из (19) и (20) или (21) получаем оценку (5) или (6).

Основное изложение проведем, предполагая, что

Рассмотрим задачу (1а). Для нее тождество (18) примет вид

где

Из (24) видно, что при любых если положительны,

Теорема 1. Пусть постоянные операторы. Тогда условия

достаточны для устойчивости схемы (1) по начальным данным. При выполнении условий (26) и (27) для задачи (1а) имеет место оценка

где определяется согласно (24).

Действительно, при 50 из (23) следует

Замечания. 1) Если то т. е. полунорма. Оценка (28) выполняется и в этом случае.

2) Если условия теоремы выполнены при любых то схема (1а) абсолютно устойчива.

4. Устойчивость по правой части.

Рассмотрим теперь задачу (16). Будем предполагать, что выполнены условия (10) и (27). Так как постоянные операторы, то тождество (18) для (16) имеет вид

При выводе априорных оценок вида (20) или (21) основную роль играет оценка функционала

Заметим, прежде всего, что имеет место очевидное неравенство

где не зависит от

Лемма 2. Пусть положительно определенный оператор и Тогда

где любое число.

Применим лемму 1 из гл. V, § 1

Воспользуемся неравенством

т. е.

где дается формулой (24). Отсюда получаем (31).

Лемма 3. Если положительно определенный оператор и то

Воспользуемся тождествами

Согласно лемме 1 из гл. V, § 1 имеем

Учитывая затем (32), получим

После подстановки (35) в (34) приходим к (33). Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, А — положительно определенный оператор. Тогда схема (1) устойчива по правой части и для нее при верна оценка

где зависит только от

Доказательство. Рассмотрим задачу (16). Подставим оценку (33) в (29) и учтем, что 0:

Суммируем это неравенство по Так как то

а при тождество (29) дает

так как

Сложим это неравенство с (37):

Лемма 2 при дает

Для решения неравенства (38) применим лемму 5 из § 1, выберем во и учтем, что В результате получим для решения задачи (16) априорную оценку

Из (39) и (28) следует (36).

Теорема 3. Пусть постоянные неотрицательные операторы, а - переменный несамосопряженный положительно определенный оператор

где не зависит от и выполнено условие

Тогда для решения задачи (16) справедлива априорная оценка

Рассмотрим тождество (29). Из (40) и (30) при следует

Суммируя получаем (так как

или

так как

Лемма 4. Если то

В самом деле

Далее, обозначив получим

откуда следует неравенство

Суммируя его по от 1 до получаем

или

Воспользуемся очевидным тождеством

Отсюда и из (46), (47) следует (45).

Подставляя в (44) оценку (45), получаем (42). Теорема 4. Пусть постоянные операторы. Тогда при условиях для решения задачи (1) верна априорная оценка

Достаточно оценить лишь решение задачи (16), так как георема 1 при сохраняет силу. Положим в Тогда из (29) следует

Остается просуммировать это неравенство по переменному учесть при этом, что и затем воспользоваться теоремой 1.

5. Схемы с переменными операторами.

Если зависят от то вводится дополнительное требование липшиц-непрерывности по

при всех где не зависит от и аналогичное условие для В этом случае составная норма зависит от

Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части тождества (18). Замечая, что

и вводя обозначения

перепишем тождество (18) в следующем виде

Если удовлетворяют условию (49), то

и из тождества (53) при следует неравенство

В общем случае, когда условию (49) удовлетворяет каждый из операторов в отдельности, имеем

при где не зависит от так как при

Тождество (53) дает

После того, как написано энергетическое неравенство (57), вывод априорных оценок проходит так же, как и для постоянных Так, например, при из (57) для задачи (1а) следует оценка

где зависит только от

Формулируем основные результаты в виде одной теоремы. Теорема 5. Пусть переменные операторы, липшиц-непрерывные по и

где не зависит от Тогда для схемы (1) имеют место оценки

при

при где не зависит от

Во избежание ненужных повторений, доказательство теоремы опускаем.

Замечание. Некоторые требования теоремы 5 могут быть ослаблены. Так, устойчивость по начальным данным имеет место при условии (вместо Для выполнения оценки (61) также достаточно

потребовать положительности оператора А. Условие можно заменить условием

где не зависит от Если выполнено (62), то оценка (60) имеет место при

6. Схема с весами.

Весьма часто встречаются на практике схемы с весами

где вещественные числа, от выбора которых зависит устойчивость и точность схемы.

В гл. V, § 2 схема (63) была приведена к каноническому виду (1) и были найдены операторы

Пусть существует оператор Действуя на (1) с операторами (64) оператором получим

где

Отсюда видно, что самосопряженные постоянные операторы.

Применим к (65) теоремы 1 и 2. Справедливы операторные неравенства

Теорема 6. Если переменный положительно определенный оператор и выполнены условия

то схема (63) устойчива и для нее верна оценка

где

Доказательство. 1) Устойчивость по начальным данным. Так как условия теоремы 1 выполнены, то для решения задачи (65) при имеем

и, в частности,

где определяется по формуле (70), являющейся частным случаем формулы (24) при

2) Устойчивость по правой части. Рассмотрим задачу (63) при Будем искать ее решение в виде

где как функция при фиксированном удовлетворяет уравнению (63) с при и начальным данным

Подставляя (72) в (63) и учитывая (73), убеждаемся в том, что (72) есть решение задачи (63). Для в силу устойчивости по начальным данным (71), имеем

где выражается через по формуле (70). Из (73) находим так как при то

По условию Поэтому

т. е.

Подставляя (75) в правую часть неравенства

получаем для решения задачи (63) с оценку

Отсюда и из (71) следует (69).

Теорема 7. Если положительно определенный оператор и выполнены условия (68), то для решения задачи (63) выполняется неравенство

где дается формулой (70).

Для доказательства теоремы надо подставить оценки

в тождество (18) для схемы (65).

Применяя теорему 2 к схеме (65) с постоянным положительно определенным оператором А, нетрудно получить при условиях (68) оценку

Отметим еще, что оценка (60) имеет место для схемы (63), если липшиц-непрерывен по и

а оценка вида (61) справедлива при —

7. Примеры.

Рассмотрим несколько схем частного вида.

1. Явная схема

неустойчива при

2. Схема (1) с оператором

устойчива при т. е. при

Частным случаем схемы (80) является схема Дюфорта и Франкела (схема «ромб») для уравнения теплопроводности

Она получается из явной неустойчивой схемы (вида (79))

в результате замены полусуммой что дает

Приведем (82) к каноническому виду. Так как то правая часть в (82) равна следовательно,

Сравнивая это уравнение с (80), видим, что т. е. схема Дюфорта и Франкела устойчива при любых Нетрудно сразу написать аналог этой схемы для случая, когда любой эллиптический оператор. При этом надо лишь выбрать к из условия (81).

3. Несимметричная трехслойная схема

применяется для решения уравнения теплопроводности. Пользуясь формулами

приведем ее к каноническому виду

т. е. Отсюда видно, что условия выполняются при любом Если то схема устойчива в норме

8. Другие априорные оценки.

Наряду со схемой (1) часто встречаются трехслойные схемы, записанные в виде

Эта схема формально получается из (1) заменой на Имея в виду эту замену, нетрудно заключить, что схема (83) устойчива при и написать соответствующие оценки,

Составные нормы естественно появляются при написании уравнения энергетического баланса. Они весьма сложны по структуре. Желательно иметь априорные оценки для решения задач (1) и (83) в обычных энергетических нормах и Перейдем к выводу таких оценок.

Любую трехслойную схему будем записывать в форме

где линейные операторы. В частности, для схемы (1), для схемы (83). Наряду с (84) будем рассматривать задачи

Будем предполагать, что

Из теоремы 5 следует, что схема (84) при условиях (85), (86) и условии

любое число, не зависящее от устойчива по начальным данным и для решения задачи (84а) имеет место оценка

где не зависит от и

Постоянная если операторы не зависят от Для перехода от (88) к оценкам в и нам понадобятся двусторонние оценки функционала

Лемма 5. Пусть выполнены условия (85) и (87). Тогда

Доказательство. Обозначим

Докажем неравенство (91).

Подставим сюда

Используем условие (87): так что

Отсюда следует первое неравенство леммы.

Заметим далее, что Подставим сюда

Пользуясь снова обобщенным неравенством Коши — Буняковского и учитывая (87), получаем

Применим неравенство: Тогда

Полагая второй коэффициент равным нулю, найдем Вторая оценка леммы доказана.

Чтобы получить третью оценку, потребуем равенства коэффициентов при в (94); это дает

Так как при любом то

Лемма полностью доказана.

Подставляя (91) — (93) в (88), получаем оценки для задачи (84а):

Для доказательства устойчивости схемы (84) по правой части воспользуемся принципом суперпозиции и будем искать решение задачи (846) в виде суммы

где как функция при любом фиксированном удовлетворяет уравнению (84а) и начальным условиям

Предположим, что оператор существует. Для этого достаточно потребовать, чтобы (см. теорему 4 из гл. I, § 3).

Так как то для решения уравнения будем иметь оценку так что

В силу (95) получаем

Пользуясь затем (97) и неравенством треугольника, получим для решения задачи (846) оценку

Суммируем все результаты в виде следующей теоремы. Теорема 8. Пусть выполнены условия (85) — (87) и, кроме того, положительно определенный оператор. Тогда схема (84) устойчива по начальным данным и по правой части, а для решения задачи (84) имеет место априорная оценка

Следствие. Пусть Тогда и для (846) верна оценка

Более тонкие оценки, аналогичные оценкам для уравнения колебаний струны можно получить для более узкого класса схем

Предположим, что постоянные операторы,

Тогда при условии (87) для (101) верна оценка (99) с Полагая преобразуем (101) к виду

Применяя к (103) оператор получим схему

Сравнивая ее со схемой (84), устанавливаем соответствие

Условие (87) принимает вид

Воспользуемся теперь оценкой (99). Так как С — постоянный оператор, то

Учитывая, что

запишем (105) в исходных переменных

Тем самым доказана

Теорема 9. Если выполнены условия (87) и (102), то для схемы (101) имеет место априорная оценка (106). В частности, для схемы имеем

(ср. с оценками гл. II, § 2, п. 2).

Рассмотрим в качестве примера схему с весами

Подставляя сюда получим

т. е. Условие устойчивости или выполнено при

Для явной схемы отсюда следует

Явная схема Для уравнения колебаний струны, согласно этому условию, устойчива при (ср. гл. II, § 2).

Рассмотрим вопрос об устойчивости схемы (107) с переменным оператором Будем считать по-прежнему, что самосопряженный положительно определенный оператор, так что существует.

Применим к обеим частям уравнения (107) оператор Тогда получим схему

Чтобы воспользоваться теоремой 5, надо установить липшиц-непрерывность по Будем предполагать, что оператор липшиц-непрерывен по

В силу самосопряженности и положительной определенности оператора получаем отсюда

Предполагая, что выполнено условие получаем

Следовательно

Учитывая затем неравенство

заключаем, что удовлетворяет условию Липшица по с постоянной

если выполнены условия

В силу теоремы 5, если

то для схемы (107 выполняется оценка

Пользуясь (91) и (92) и учитывая, что получаем

где постоянные, не зависящие от Априорная оценка (108) имеет место при условиях:

1) - самосопряженный, положительно определенный оператор,

2) липшиц-непрерывен по с постоянной

9. О регуляризации разностных схем.

Теорию устойчивости разностных схем, изложенную в этой главе, можно использовать для формулировки общего принципа (принципа регуляризации, А. А. Самарский [20]) для получения схем заданного качества, т. е. устойчивых, обладающих аппроксимацией и удовлетворяющих дополнительному требованию экономичности (минимума арифметических действий, достаточных для решения на ЭВМ получающихся разностных уравнений).

Требование экономичности применительно к нестационарным задачам математической физики обычно означает, что число арифметических действий, затрачиваемых для решения разностных уравнений при переходе со слоя на слой, пропорционально числу узлов сетки (подробнее об экономичных схемах см. гл. VII).

При записи двухслойных и трехслойных схем в канонической форме

было обнаружено, что ответственным за устойчивость является оператор (регуляризатор). Достаточные условия устойчивости имеют простой вид

Устойчивость или неустойчивость схемы (из исходного семейства) зависит только от выбора оператора

С точки зрения теории устойчивости произвол в выборе оператора ограничен лишь двумя требованиями:

1) схема должна принадлежать исходному семейству, т. е.

2) должны быть выполнены условия (111).

Для получения устойчивой схемы заданного качества необходимо добиться, чтобы она имела аппроксимацию заданного порядка и была экономичной, т. е. для решения уравнений или требовалось бы минимальное, в некотором смысле, число действий.

Заметим, прежде всего, что если схема (109) или с некоторым оператором устойчива, то и схема с оператором также устойчива.

Обычно при построении разностных схем поступают так: пишется сначала схема, обладающая аппроксимацией нужного порядка и экономичная, после чего исследуется ее устойчивость.

Основная идея регуляризации разностных схем заключается в следующем: схемы заданного качества надо искать в классе устойчивых схем, отправляясь от некоторой исходной схемы и заменяя ее, путем изменения оператора другой схемой нужного качества, принадлежащей классу устойчивых схем.

Многие приемы построения схем частного вида можно трактовать как простейшие приемы регуляризации.

Запись схем в канонической форме удобна не только для проверки устойчивости, но и для оценки порядка аппроксимации. При в (109) стоит множитель а в множитель Поэтому, если при изменении в случае двухслойной схемы остается выполненным условие (и — решение исходного дифференциального уравнения), то погрешность аппроксимации при изменении меняется на величину В случае трехслойных схем условие гарантирует, что при регуляризации будут получаться схемы, погрешность аппроксимации которых отличается на величину Поэтому трехслойными схемами удобно пользоваться для получения устойчивых схем второго порядка аппроксимации по

Основным является вопрос о выборе регуляризатора Так как условия устойчивости имеют вид операторных неравенств, то в качестве естественно выбирать операторы возможно более простой структуры, энергетически эквивалентные оператору Пусть, например, энергетически эквивалентные операторы с постоянными (см, гл. IV, § 2, п. 4), так что

Полагая затем получим устойчивые схемы при в случае (109), в случае (110).

Простейшим видом является оператор

Условия устойчивости выполнены, если для (109), для (110).

Пример 1. Рассмотренная в § 2, п. 7 явная трехслойная схема Дюфорта и Франкела для уравнения теплопроводности принадлежит семейству схем

В самом деле, условие выполнено. Эта схема обладает условной аппроксимацией при

Нетрудно написать явную устойчивую схему для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

В этом случае

Для многомерного уравнения теплопроводности

параллелепипед следует положить

где шаг сетки по

Пусть где сопряженные или «треугольные» (с треугольной матрицей) операторы, так что Полагая или получим схему (109), устойчивую при

Пример 2. Асимметричная схема В. К. Саульева [1] для уравнения теплопроводности принадлежит семейству «треугольных» схем. Она имеет вид:

Здесь Схема (115) устойчива при

и условно аппроксимирует уравнение с при Для уравнения (113) следует положить и взять

В случае задачи (114) имеем

Важно отметить, что при построении схемы Дюфорта и Франкела [1] в качестве исходной бралась явная неустойчивая схема

которая имеет аппроксимацию Чтобы получить устойчивую схему, в выражении для значение заменялось полусуммой что приводило к явной схеме (112) с Это преобразование, таким образом, соответствует введению регуляризатора простейшего типа.

В дальнейшем, после введения в практику формул прогонки, стали широко рассматривать двухслойные неявные схемы (схемы с весами), для которых Очевидно, что эти схемы являются частным случаем схем с

Укажем еще один способ выбора Пусть Выберем так, чтобы двухслойная схема имела факторизованный оператор

так что

Так как то эта схема устойчива, если

Перемежающиеся схемы В. К. Саульева [1] фактически эквивалентны схеме с факторизованным оператором В указанного вида.

Схемы с факторизованным оператором

применяются в качестве итерационных схем для решения уравнений (см. гл. VIII).

10. О работах по устойчивости разностных схем.

Остановимся кратко на работах, в которых рассматриваются принципиальные вопросы теории устойчивости разностных схем и получены достаточно общие результаты. Отметим, что данный обзор никоим образом не претендует на полноту. Многочисленные литературные ссылки читатель может найти в книгах В. К. Саульева [1],

С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1], Рихтмайера и Мортона [1], В. Вазова и Дж. Форсайта [1], Н. Н. Яненко [6], [7], Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко [1].

Понятие устойчивости разностной схемы, по-видимому, впервые встречается в статье Неймана и Рихтмайера [1] в 1950 г., где устойчивость определяется как ограниченность всех гармоник решения разностной задачи. Более подробно этот спектральный критерий изложен в обзоре О Брайена, Хаймама и Каплана [1].

Независимо от этих работ в 1952 г. была опубликована статья В. С. Рябенького [1] (см. также В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [1]), где даны математически строгие определения устойчивости для разностных схем, аппроксимирующих задачу Коши для системы уравнений с частными производными. Устойчивость определялась, по аналогии с понятием корректности для системы дифференциальных уравнений, как непрерывная зависимость в сеточной норме С или 12 решения разностной задачи от начальных данных, причем эта зависимость должна быть равномерной относительно шагов сетки. Было показано, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость разностной схемы.

Различные определения и способы исследования устойчивости были предложены в работах Н. Н. Меймана [1], Л. А. Люстериика [1], Коллатца [2], Джона [1], Дюфорта и Франкела [1] и др.

Существенный шаг был сделан в 1955 году А. Ф. Филипповым [1], который ввел общее понятие устойчивости разностной схемы как непрерывной зависимости (в разных нормах), равномерной относительно шагов сетки, решения разностной задачи от начальных и граничных данных и от правой части. Это определение включает в себя определения, предложенные ранее, и относится к схеме общего вида, не связанной с каким-либо конкретным уравнением. А. Ф. Филиппов вводит определение аппроксимации и показывает, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость схемы.

Работы В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова получила развитие в их книге (см. В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [1]), где рассмотрены и некоторые способы исследования устойчивости, например, метод разделения переменных, который иллюстрируется на ряде конкретных примеров.

Другой подход к теории разностных схем дан в работе Лакса и Рихтмайера [1] (см. также Р. Д. Рихтмайер [1]), которые рассматривали в банаховом пространстве абстрактную задачу Коши

где для всех постоянный линейный оператор со всюду плотной областью определения Задаче Коши ставится в соответствие двухслойная схема

где ограниченный линейный оператор, зависящий от параметра с областью определения, совпадающей со всем пространством Функция рассматривается как элемент того же пространства которому принадлежит решение исходной задачи. (Предполагается, что шаги по другим переменным являются функциями шага по времени,

Устойчивость схемы определяется как равномерная ограниченность степеней оператора перехода

где не зависит от Отсюда сразу следует оценка

выражающая устойчивость по начальным данным в

В работе Лакса и Рихтмайера [1] было показано, что если исходная задача корректна и схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость необходима и достаточна для сходимости схемы.

В книге Рихтмайера [1] для периодической задачи Коши получены некоторые необходимые и некоторые достаточные условия устойчивости. Эти условия сформулированы в виде ограничений на спектр преобразования Фурье (называемого также символом или матрицей перехода) оператора перехода

Работа Лакса и Рихтмайера [1] положила начало ряду исследований по спектральной теории устойчивости. Так, Крейс [2] получил необходимые и достаточные условия устойчивости (ограниченности спектра степеней матриц перехода) для широкого класса разностных схем. Эти же вопросы рассматривали Буханан [1], Мортон и Шехтер [1], которые упростили некоторые доказательства Крейса [2]. Результаты работ Крейса [2], Буханан [J, Мортона и Шехтера [1] изложены в книге Рихтмайера и Мортона {1].

Ряд необходимых признаков устойчивости несамосопряженных краевых задач получен с помощью изучения спектра семейства разностных операторов в работах С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1]-[3] и В. С. Рябенького [2], [3].

Устойчивость разностных схем для гиперболических систем первого порядка изучалась в работах О. А. Ладыженской [1], С. К. Годунова [1], [2], Лакса [1], Лакса и Вендрофа [1]-[3], Лакса и Ниренберга [1], Крейса [5], Стренга [1], Келлера и Томэ [1], Томэ [1], Л. С. Франка [1].

Исследование устойчивости разностных схем в норме С было проведено в работах С. И. Сердюковой [1]-[3], И. В. Коновальцева [1], [2], М. В. Федорюка [1]. Томэ [4], Видланда [2].

Наряду со спектральными методами исследования устойчивости развивался, применительно к конкретным схемам, энергетический метод, позволивший освободиться от детального изучения спектральных свойств операторов разностных схем. Начало этому направлению фактически положила работа Р. Кураита, К. Фридрихса и Г. Леви [1].

Априорные оценки разностных схем простейшего вида, в связи с изучением вопроса о разрешимости смешанных задач для различных уравнений и систем уравнений в частных производных, были получены энергетическим методом О. А. Ладыженской [2], В. И. Лебедевым [1] (см. также обзорную статью А. М. Ильина, А. С. Калашникова и О. А. Олейник [1]).

Усовершенствование аппарата энергетических оценок и применение его для широких классов разностных схем (для параболических и гиперболических уравнений) было даио в работах Лиза [1]-[4] и А. А. Самарского [1], [2]. Примерно в это же время ряд априорных оценок для разностных краевых задач был получен Крейсом [4], Л. И. Камыиииым [1], Дугласом [3].

Позже энергетический метод нашел широкое применение при исследовании разностных схем для многомерных задач математической физики. Укажем в связи с этим работы В. Б. Андреева [1]-[6], И. Г. Белухиной [1], [2], Е. Г. Дьяконова [3]-[5], [8], А. Н. Коновалова [4], А. А. Самарского [4]- [12], [16J, [21], И. В. Фрязинова [2]-[6].

Двухслойные и трехслойные разностные схемы для эволюционной задачи Коши изучались с помощью метода энергетических неравенств в работе Равьярта [1].

Ряд новых результатов в теории устойчивости разностных схем получен в работах Видланда [1], Вендрова [1], Миллера и Стреига [1], Томэ [3], [5], Л. С. Франка [3].

Изложение теории устойчивости разностных схем, даииое в главах V— VI, основано на работах А. А. Самарского [20], [21], [23], [24]. Развитию этого направления посвящены работы А. В. Гулииа [1], А. В. Гулина и А. А. Самарского [1], А. А. Самарского [28], А. А. Самарского и А. В, Гулииа [1].

Задачи к главе VI

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление