Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Понятие устойчивости.

Введем понятие устойчивости для двухслойных схем. Под двухслойной схемой мы понимаем множество операторно-разностных уравнений (4), зависящих от параметров Операторы считаем заданными на всем пространстве

Будем рассматривать поэтому множество решений задачи Коши (4), зависящих от входных данных

Схема (4) называется корректной (корректно поставленной), если при всех достаточно малых

1) решение задачи (4) существует и единственно при любых начальных данных и правых частях для всех

2) существуют такие положительные постоянные не зависящие от и выбора что при любых для решения задачи (4) справедлива оценка

где некоторые нормы в пространстве

Неравенство (12) выражает свойство непрерывной зависимости, равномерной по решения задачи Коши (4) от входных данных. Это свойство и называется устойчивостью.

Будем называть разностную схему абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых (а не только при достаточно малых).

Аналогично вводится понятие устойчивости для трехслойной схемы. Однако при этом следует рассматривать пару векторов с нормой вида

где некоторые нормы в Нормы вида (13) возникают при изучении устойчивости трехслойных схем методом энергетических неравенств (см. гл. II, § 2).

Таким образом, трехслойная схема (8) называется устойчивой, если при любых начальных данных и любых правых частях для ее решения справедлива оценка

где положительные постоянные, не зависящие от и от выбора

Основная задача, которая стоит перед нами, заключается в следующем. Предположим, что уравнение (4) однозначно разрешимо относительно при любых

Какими свойствами должны обладать операторы чтобы схема была устойчивой в смысле данного выше определения? Иными словами, надо найти достаточные условия устойчивости схемы (4) и получить априорные оценки вида (12). При этом достаточные условия должны быть удобны для практической проверки в случае конкретных разностных схем, соответствующих уравнениям математической физики.

Устойчивость разностных схем будем исследовать вне связи с аппроксимацией и сходимостью.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление