Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. О сходимости и точности схем.

При решении некоторой задачи приближенным методом в конечном счете надо иметь предварительное суждение о том, с какой точностью можно приблизить при помощи этого метода точное решение задачи.

Поэтому следует рассмотреть вопрос о сходимости и точности разностных схем.

Пусть в области с границей требуется найти решение линейного дифференциального уравнения

удовлетворяющее дополнительным (краевым или начальным) условиям

где заданные функции (входные данные задачи), I — некоторый линейный дифференциальный оператор. Предположим, что решение задачи (25) — (26) существует и единственно.

Область непрерывного изменения аргумента (точки) заменяется дискретным множеством точек (узлов) сеткой.

Пусть векторный параметр, характеризующий плотность расположения узлов, множество внутренних узлов сетки, множество граничных узлов. Задаче (25) — (26) поставим в соответствие разностную задачу

где и - известные сеточные функции. Здесь операторы, действующие на сеточные функции, заданные для Решение задачи (27) есть сеточная функция, определяемая в узлах сетки . Меняя т. е. выбирая различные сетки , мы получаем множество решений зависящих от параметра Таким образом, следует рассматривать семейство схем (27), соответствующих различным значениям параметра

Основной целью всякого приближенного метода является получение решения исходной (непрерывной) задачи с заданной точностью за конечное число действий. Чтобы выяснить принципиальную возможность приближения решения и задачи (25) — (26) решением задачи (27) с любой заданной точностью в зависимости от выбора шага мы должны сравнить

Это сравнение будем проводить в пространстве сеточных функций. Пусть значение на сетке так что

Рассмотрим погрешность разностной схемы (27):

Напишем условие для Подставив в (27), получим для задачу того же типа, что и (27):

где

Правые части задачи (28) называются погрешностью аппроксимации уравнения (25) разностным уравнением (27) и соответственно погрешностью аппроксимации условия (26) разностным условием на решении задачи (25)-(26),

Обычно говорят короче: — погрешность аппроксимации для схемы на решении уравнения погрешность аппроксимации для условия на решении задачи (25)-(26).

Для оценки погрешности схемы и погрешности аппроксимации введем на множестве сеточных функций нормы соответственно.

Будем говорить, что решение разностной задачи (27) сходится к решению задачи (схема (27) сходится), если

или

Разностная схема (27) сходится со скоростью или имеет порядок точности (имеет точность ), если при достаточно малом выполняется неравенство

где постоянная, не зависящая от

Говорят, что разностная схема (27) обладает порядком аппроксимации, если

Обозначая значения на сетке и учитывая, что запишем в виде

Таким образом, погрешность аппроксимации схемы складывается из погрешности аппроксимации правой части и погрешности аппроксимации дифференциального оператора.

Так как есть погрешность аппроксимации в классе решений дифференциального уравнения, то условие может быть выполнено, если не имеют по отдельности порядка. Иллюстрирующий это утверждение пример был рассмотрен в п. 3.

Возникает вопрос: как зависит порядок точности схемы от порядка аппроксимации на решении? Погрешность есть решение задачи (28) с правой частью Поэтому вопрос о связи порядка точности с порядком аппроксимации сводится к вопросу о характере зависимости решения разностной задачи от правой части. Если непрерывно (и притом равномерно по А) зависит от (схема устойчива), то порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Определение устойчивости разностной схемы будет дано в п. 8. Остановимся сначала на связанном с постановкой разностных задач вопросе об аппроксимации краевых и начальных условий на решении исходной задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление