Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Операторно-разностные схемы

1. Введение.

В § 1 краевые задачи для дифференциальных уравнений мы трактовали как операторные уравнения где линейный оператор, заданный в банаховом пространстве

При изучении нестационарных процессов, описываемых уравнениями в частных производных параболического и гиперболического типов

переменная t (время) играет особую роль и поэтому должна быть выделена. Здесь дифференциальный оператор, действующий на как функцию точки -мерной области Функция при каждом фиксированном является элементом банахова пространства Поэтому вместо мы получаем абстрактную функцию переменного со значениями в т. е. для всех Оператор действующий на как функцию х, заменяется оператором заданным в Оператор вообще говоря, действует из некоторого пространства в некоторое пространство (область его определения является всюду плотной в 38 и а область его значений Мы будем считать здесь, что результате приходим к абстрактной задаче Коши

где заданный элемент из

Эти рассуждения носят лишь эвристический характер и имеют целью провести аналогию между методами общей теории дифференциальных уравнений и общей теории разностных схем, которая излагается в этой главе и в главе VI.

Задача Коши называется устойчивой по начальным данным и по правой части, если

где .

В силу принципа суперпозиции линейный оператор) устойчивость задачи Коши по правой части следует из равномерной устойчивости по начальным данным

где решение однородного уравнения.

2. Операторно-разностные схемы.

По аналогии с § 1 рассмотрим линейную систему зависящую от параметра являющегося вектором некоторого нормированного пространства с нормой На линейной системе можно ввести ряд норм Ил, При этом мы получим линейные нормированные пространства Условимся в дальнейшем для упрощения изложения говорить о нормах в пространстве и, считая основной нормой в

На отрезке введем равномерную с шагом сетку

Будем рассматривать абстрактные функции дискретного аргумента со значениями в так что для всех Пусть линейные операторы, зависящие от параметров и действующие из при каждом В тех случаях, когда это не вызовет недоразумений, индексы будем опускать и писать

Семейство разностных уравнений порядка

зависящих от параметров с операторными коэффициентами (которые являются линейными операторами, заданными на и зависят от будем называть -слойной операторно-разностной схемой или просто -слойной схемой. Если существует оператор решение этой задачи может быть выражено через начальные векторы и правую часть Мы предполагаем, как всегда, что векторы заданы.

Мы будем рассматривать только двухслойные и трехслойные схемы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление