Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Схема повышенного порядка точности для эллиптического уравнения со смешанными производными.

В прямоугольнике и рассмотрим задачу Дирихле для

уравнения

где — граница области

Если то выполнено, условие эллиптичности оператора

где

Будем предполагать, что Нетрудно заметить, что уравнение общего вида

где постоянные, преобразуется к виду (36) путем замены переменных

так что

Предположим, что в прямоугольнике можно ввести квадратную сетку

с шагом

Построим разностную схему четвертого порядка точности для задачи (36), (37).

Зададим разностные операторы

Нетрудно непосредственно убедиться в том, что имеют место формулы

Рассмотрим разностный оператор

где

Найдем погрешность аппроксимации оператором оператора на решении уравнения Пользуясь формулами (40), будем иметь

Из уравнения (36) определим и преобразуем выражение в скобках

так как

Отсюда и из (42) следует, что схема

где граница сетки и

имеет четвертый порядок аппроксимации на решении задачи (36), (37). При этом вид оператора зависит, согласно (41), от знака коэффициента

Для погрешности и получаем условия

Введем скалярное произведение и норму в пространстве сеточных функций, заданных на и обращающихся в нуль в граничных узлах

Пользуясь формулой суммирования по частям (см. гл. I, § 2, п. 1), найдем

Поэтому справедливы оценки

где Введем операторы

и найдем постоянные эквивалентности Учитывая оценки для имеем

Воспользуемся, далее, оценкой

которая следует из соотношений

Учитывая (46), получим

Покажем теперь, что

В самом деле, если то и

Если

при

Тем самым доказано, что

где

Покажем, что для погрешности и имеет место оценка

где

В самом деле, запишем схему (45) в операторной форме

и умножим части этого уравнения скалярно на

Так как

и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Из полученной априорной оценки и условия следует сходимость схемы (43) со скоростью в норме пространства (в сеточной норме

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление