Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Операторы с переменными коэффициентами.

Перейдем к получению оценок для разностных операторов с переменными коэффициентами. Везде в и 4 предполагается, что область прямоугольник

Пусть

В гл. III было показано, что оператор

можно аппроксимировать с точностью выражением

где

Но из-за сложности вычисления интеграла такую аппроксимацию использовать не всегда целесообразно. В качестве обычно можно брать те выражения, которые получаются из (20), если заменить там интеграл той или иной квадратурной формулой. Часто используют выражения

Из соотношений (20) — (22) и условий (19) следует, что

Оператору (19) поставим в соответствие разностный оператор

Аппроксимации такого вида являются естественным обобщением на многомерный случай однородных разностных схем, введенных в гл. III для одномерных уравнений.

Лемма 3. Для всякой функции заданной на сетке и обращающейся в нуль на границе справедливы неравенства

где даются выражениями (15), (16); постоянные из условий (19) и

Доказательство. Так как на границе сеточной области равна нулю, то из формулы Грина для оператора следует, что

Поэтому

Используя условие (19), отсюда находим

Оценивая теперь с помощью формул (13) и (13), получаем (25).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление