Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона.

Исходя из схемы «крест», можно построить схему с погрешностью аппроксимации на решении (или в случае квадратной (кубической) сетки). Для повышения порядка аппроксимации используется тот факт, что есть решение уравнения Пуассона

Проведем рассуждения для двумерного случая когда

Рассмотрим разностный оператор

Пусть имеет нужное по ходу изложения число производных. Тогда

Из уравнения находим

так что

Подставим сюда и заменим разностным оператором

Этот оператор определен на девятиточечном шаблоне, изображенном на рис. 16.

Рис. 16.

Напишем выражение для

Погрешность аппроксимации

В самом деле, где некоторая средняя точка. Поэтому

Отсюда видно, что

Таким образом, что и требовалось доказать.

Заменяя в на получим

Из предыдущего следует, что уравнение

имеет четвертый порядок аппроксимации на решении уравнения Пуассона (80). В самом деле, формула (83) дает

Оператор определен на девятиточечном шаблоне (рис. 16) «ящик», состоящем из узлов . Запишем схему (84) в виде

где На квадратной сетке это уравнение принимает вид

16).

Рассмотрим теперь разностную задачу Дирихле для схемы в прямоугольнике

где дается формулой (84).

Каждый из узлов сетки является регулярным, так как девятиточечный шаблон (рис. 16) принадлежит (7. Граница сетки содержит все узлы на в том числе и вершины прямоугольника. Для и получаем задачу

где при если Проверим условия принципа максимума. Сравнивая (41) с (85), видим, что

Для оценки решения задачи (87) строим мажорантную функцию

Учитывая, что выбирая и пользуясь теоремой 3, получаем для решения задачи (87) оценку

Отсюда следует, что схема (86) имеет четвертый порядок точности, если и выполнено условие (88).

На квадратной сетке это условие автоматически выполнено. Выбирая соответствующим образом можно, добиться того, что на квадратной сетке схема (86) будет иметь шестой порядок точности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление