Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Постановка разностной задачи.

До сих пор мы занимались приближенной заменой дифференциальных операторов разностными. Однако задачи математической физики помимо дифференциального уравнения включают и дополнительные условия — краевые и начальные, которые обеспечивают выделение единственного решения из всей совокупности возможных решений.

Поэтому при формулировке разностной задачи, помимо аппроксимации дифференциального уравнения, необходимо эффективно описывать в разностном виде эти дополнительные условия. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия -(краевые и начальные), называют разностной схемой.

Сначала проиллюстрируем сказанное на примерах. Пример 1. Задача и для обыкновенного дифференциального уравнения.

Выберем простейшую равномерную сетку

и поставим в соответствие задаче (22) разностную задачу:

или

При этом правую часть можно задавать различными способами, например,

лишь бы выполнялось условие

Для нахождения решения получаем рекуррентную формулу

Пример 2. Краевая задача.

Выберем опять равномерную сетку

Разностную задачу запишем в виде:

В результате получим систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Такую систему можно решать, например, методом прогонки (см. п. 9).

Примерз. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

Выбрав равномерную сетку

простейший четырехточечный шаблон (см. п. 2, пример 4), получим разностную задачу

или в индексной форме:

Правую часть можно задавать различными способами

Разностная задача является примером использования так называемой явной схемы: значения решения на верхнем временном слое определяется через значение на предыдущем слое по явным формулам

Рассмотрим неявную схему

Для определения значений слое получаем систему алгебраических уравнений

с трехдиагональной матрицей. Эту систему можно решать методом прогонки (см. п. 9).

До сих пор мы рассматривали краевые условия первого рода, которые на разностной сетке аппроксимировались точно. В случае краевых условий третьего рода вопрос об их аппроксимации требует специального исследования. На этом вопросе мы остановимся позже.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление