Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Равномерная сходимость и порядок точности разностной задачи Дирихле.

Применим теорему 6 для оценки решения задачи (28). Следуя п. 7, представим погрешность аппроксимации схемы (24) — (26) в виде

где в регулярных узлах (по ) в нерегулярных узлах (по ).

Из оценок п. 3 следует, что для и

в нерегулярных узлах где

Из (74) находим

Для решения задачи (28), в силу теоремы 6, имеем оценку

Перейдем к оценке в имеем

либо

где А одно из чисел или Учитывая, что

заключаем

Подставляя оценки (76) и (78) в (77), убеждаемся в том, что верна

Теорема 7. Если решение задачи то разностная схема (24) — (26) равномерно сходится со скоростью (имеет второй порядок точности). При этом верна оценка

где у — решение задачи

Сделаем в заключение следующее

Замечание. Рассмотренный выше способ аппроксимации задачи Дирихле (схема является довольно распространенным. Однако построенный таким образом разностный оператор в некоторых случаях теряет ряд важных свойств, присущих исходному дифференциальному оператору: самосопряжен ность и отрицательную определенность.

Представляет интерес построить такую аппроксимацию задачи Дирихле для уравнения Пуассона, для которой

соответствующий разностный оператор был бы самосопряженным и отрицательно определенным.

Оказывается, что для этого достаточно изменить запись разностного уравнения в нерегулярных узлах. Именно, оператор будем определять теперь так:

где

Можно показать, что при этом оператор

является самосопряженным и отрицательно определенным (на множестве функций, обращающихся в нуль на в смысле скалярного произведения

Так же как и в теореме 7, доказывается, что соответствующая разностная схема имеет второй порядок точности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление