Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Оценка решения разностной задачи Дирихле.

Пользуясь результатами п. 6, дадим равномерную оценку решения разностной задачи Дирихле этой целью представим решение этой задачи в виде

где у — решение задачи (24) — (26) с однородным граничным условием а у — решение однородных разностных уравнений (24), (25) при с неоднородным граничным условием Так как, согласно п. 4, условия теорем 1—3 выполнены, то для у сразу получим оценку

Правую часть представим в виде суммы

в регулярных узлах. В соответствии с этим положим

где решение задачи

а решение задачи

Здесь

Каждую из функций оценим отдельно. Для оценки используем теорему сравнения. Предполагая, что начало координат лежит внутри области возьмем мажорантную функцию

где радиус р-мерного шара (окружности при с центром в начале координат, целиком содержащего область

Учитывая, что при

получаем Очевидно, что где диаметр области Выберем теперь постоянную

так, чтобы уравнение для У имело вид

Из (62) видно, что так как Сравнение (64) с (59) показывает, что Поэтому, в силу теоремы 3, будем иметь

Учитывая, наконец, что

получим

Перейдем к оценке функции используя ограниченность снизу сеточной функции Покажем, что

где

в нерегулярных узлах, в регулярных приграничных узлах.

В самом деле, пусть а нерегулярный лишь по узел, так что «еуьш Из уравнения

где

(так как на границе следует

Если окажется, что и являются граничными узлами, то

В общем случае узел а может оказаться приграничным не только по направлению но и по другим направлениям. Тогда в сумме (52) будут отсутствовать и другие слагаемые. Поэтому справедлива оценка (67). Например, при если х нерегулярен по в соответствии с рис. 15, в), то

Обратимся теперь к задаче для функции

Представим в виде суммы в регулярных по узлах, (69)

и положим где - решение задачи

В силу теоремы 5

где

(фактически берется максимум по так как в регулярных приграничных узлах). Из (71) следует, что

Объединим оценки (56), (66) и (72) и сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6. Для решения разностной задачи Дирихле (24) — (26) с правой частью представленной в виде в регулярных по узлах, на произвольной связной сетке верна равномерная оценка

где определено формулой (68).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление