Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Принцип максимума.

Рассмотрим сейчас задачу (38), (39) независимо от разностных схем, аппроксимирующих уравнение Пуассона. Буем везде предполагать, что сетка сол связна. В общем случае это означает, что для любых заданных точек

существует система окрестностей такая, что можно осуществить переход от 5: к используя узлы этих окрестностей (т. е. найдутся точки такие, что В случае рассмотренных ранее разностных схем, аппроксимирующих уравнение Пуассона, это определение связности совпадает с данным выше определением.

Теорема 1 (принцип максимума). Пусть некоторая сеточная функция, заданная на и не равная постоянной на Тогда, если то не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения во внутренних узлах

Доказательство. Обозначим Пусть для всех Предположим, что принимает наибольшее положительное значение в некотором внутреннем узле. Так как и сетка связна, то существует такая точка в которой а в соседнем узле имеет место неравенство Уравнение (38) в узле х перепишем в виде

Так как

то из (41) следует Учитывая, что

получаем что противоречит условию

Первая часть теоремы доказана. Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Теорема 2. Пусть функция определенная на неотрицательна на границе дгеул) и выполнено условие

Тогда неотрицательна для всех

Если

Доказательство. Пусть на на Предположим, что хотя бы в одном внутреннем узле Тогда должна принимать наименьшее отрицательное значение внутри что невозможно в силу принципа максимума, так как на

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично. Следствие. Однородное уравнение (40) имеет только тривиальное решение:

Нетрудно заметить, что есть решение задачи (40). Пусть существует решение задачи Если хотя бы в одной точке, то, в силу теоремы 2, должны выполняться одновременно неравенства (42) и (43), что возможно только при

Из следствия и вытекает существование и единственность решения задачи (38), (39).

Теорема 3 (теорема сравнения). Пусть — решение задачи (38), (39), а —решение задачи, которая получится замене в (38), (39) функций соответственно на Тогда, если выполнены условия

то имеет место неравенство

Доказательство. В силу теоремы 2 справедливо неравенство на Функции удовлетворяют уравнению (38) с правыми частями и граничными значениями и Так как по условию то, в силу теоремы 2, имеем или или Отсюда следует, что т.е. на

Следствие. Для решения однородного уравнения (40) справедлива оценка

где

Неравенство (45) следует из теоремы 3, если положить

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление