Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Запись разностного уравнения в канонической форме.

Рассмотрим -точечную схему в регулярном узле:

Перепишем это уравнение в виде

Остановимся на случае двух измерений. Из рис. 8 видно, что в регулярном узле

Пусть узел нерегулярен. В случае, соответствующем рис. 15, а), имеем

Из уравнения

находим

В случае, соответствующем рис, 15,в), будем иметь

где

Пусть сетка в -мерной области и нерегулярный узел. Тогда

Подставляя это выражение в уравнение и формально считая, что х нерегулярен по всем получим

Если х регулярен по некоторому направлению то в этой формуле следует положить Если же регулярный по всем узел, то полагаем для всех что дает формулу (32). Сравнивая (32) и

(34), видим, что эти уравнения можно записать в канонической форме

где множество узлов -точечного шаблона «крест» с центром в точке х, исключая сам узел х, т. е. множество будем называть окрестностью узла заданные коэффициенты уравнения. Из (32) и (34) видно, что

К уравнению (35) следует присоединить граничное условие

Разностная задача Дирихле является частным случаем более общей задачи: найти сеточную функцию определенную на и удовлетворяющую на уравнению

где

Замечание. Третья разностная краевая задача для уравнения Пуассона приводится также к виду (38), причем уравнение (38) выполнено для всех и имеют место условия (39); кроме того, требуется, чтобы на

Для доказательства существования и единственности решения задачи (38), (39) достаточно убедиться в том, что однородное уравнение

имеет только тривиальное решение Этот факт, как будет показано ниже, следует из принципа максимума, который имеет место для схем (38), (39).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление