Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Разностная задача Дирихле в области сложной формы.

Если область в которой ищется решение задачи Дирихле (1), имеет криволинейную границу, то сетка вообще говоря, неравномерна вблизи границы. Ниже дается описание такой сетки и классификация ее узлов.

Рассмотрим произвольную конечную область с границей в пространстве измерений; точка с координатами Построим сетку в области

Для простоты изложение проведем для двумерной области Конструктивно будем использовать следующее предположение о форме области пересечение области с любой прямой, проведенной через внутреннюю точку параллельно оси координат состоит из конечного числа интервалов.

Пусть начало координат лежит внутри области Построим два семейства эквидистантных прямых

где фиксированные числа. Плоскость разобьется этими прямыми на прямоугольники со сторонами Вершины этих прямоугольников с координатами назовем узлами, а множество всех узлов — решеткой на плоскости Узлы лежащие внутри области назовем внутренними; множество всех внутренних узлов обозначим Точки пересечения прямых с границей области суть граничные по направлению узлы. Множество всех граничных по направлению

узлов обозначим . Пусть множество всех граничных узлов, т. е. узлов, граничных хотя бы по одному направлению Множество всех внутренних и граничных узлов называется сеткой в области

Проведем детальную классификацию внутренних узлов. Возьмем какой-либо внутренний узел и проведем через него прямую, параллельную оси

Рис. 13.

Её пересечением с областью будет интервал (или несколько интервалов), концы которого являются граничными по направлению узлами. Рассмотрим узлы на этом интервале. Ближайший к концу интервала узел назовем приграничным по направлению узлом. Если его расстояние от границы есть то такой узел является нерегулярным по Пусть — множество всех приграничных по узлов, а а — множество тех приграничных узлов, которые являются нерегулярными по направлению Очевидно, что со а со а. Обозначим через множество всех приграничных узлов (т. е. приграничных хотя бы по одному направлению), а через совокупность всех нерегулярных узлов (т. е. нерегулярных хотя бы по одному направлению или Пусть — дополнение до т. е. Узлы, принадлежащие будем называть строго внутренними узлами. Введем также обозначение а для строго внутренних по узлов (т. е. для узла а соседние по направлению узлы являются внутренними).

На рис. 13 значками с отмечены узлы ты —нерегулярные только по узлы нерегулярные как по так и по узлы, — приграничные узлы, регулярные как по так и по

Будем предполагать, что сетка является связной, т. е. любые два внутренних узла можно соединить ломаной, звенья которой параллельны координатным осям, а вершинами являются узлы сетки. Тогда по крайней мере один из четырех узлов пятиточечного шаблона

(регулярного или нерегулярного) является внутренним.

Требование связности сетки накладывает ограничения как на выбор так и на форму области и на ее расположение относительно сетки при заданных

Примеры несвязной и связной сеточных областей показаны на рис. 14, а) и 14,6), соответственно.

Рис. 14. а) Несвязная сетка, б) Связная сетка.

Если имеется область с узкой перемычкой, то требование связности области может быть выполнено при достаточно, малом шаге (или при сгущении сетки в этой части области). На рис. 14,б) показан тот случай, когда связность сетки достигается не путем ее сгущения, а при соответствующем выборе шага

Мы провели детальное описание сетки для области на плоскости. Все проведенные выше построения легко переносятся на случай -мерной области. Сетка образуется в результате пересечения гиперплоскостей (плоскостей при прямых при

где Указанная выше классификация узлов остается без изменений.

Аппроксимируем в каждом внутреннем узле дифференциальныи оператор трехточечным разностным оператором

Если узел регулярен по то разностный оператор записывается на регулярном шаблоне

Если же узел т. е. нерегулярен по то записывается на нерегулярном шаблоне:

где расстояние между узлами или

где расстояние между узлами Возможен случай, когда тогда

где расстояние между рис. 15 указаны типичные ситуации, соответствующие случаям

Аппроксимируя разностным оператором по одной из формул (22) — (23в), получим вместо (1) разностное уравнение для всех сол, где На сеточной границе будем задавать точное значение

В результате приходим к следующей разностной задаче Дирихле-. найти сеточную функцию определенную для удовлетворяющую во внутренних узлах уравнению

и принимающую в граничных узлах заданные значения

Укажем другие постановки разностной задачи Дирихле. Они отличаются от (24) — (26) уравнением для у в нерегулярных узлах.

Рис. 15.

1) Простой снос. Разностное уравнение (24) пишется только в регулярных узлах а на задается значение, равное значению в ближайшей точке, например,

Это соответствует условиям

2) Линейная интерполяция по двум точкам. В регулярных узлах пишется по-прежнему схема (24). В нерегулярном узле значение у определяется путем линейной интерполяции по точкам Это означает, что в узлах пишется уравнение

а в граничных узлах задается условие . (Здесь а одно из значений )

3) Интерполяция по (по четырем в случае ) узлам. В нерегулярном узле пишется фактически однородное уравнение

(на нерегулярном шаблоне).

Условие при как будет следовать из полученных ниже оценок погрешности схемы, является наиболее точным.

По аналогии с п. 2 напишем условия для погрешности схемы; здесь решение разностной задачи решение исходной задачи (1). После подстановки получим

где — погрешность аппроксимации, равная (при

Пусть где класс функций имеющих четыре непрерывных в производных по Тогда, в соответствии с (21), в регулярных узлах имеем:

Представим на в виде суммы: Учитывая (15), будем иметь

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление